Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
и вспомнить, что состояние с одним V-квантом ортогонально состоянию с
одним N и одним 0-квантом, т. е. что (Fp- j iVp_k9k} = (0 | FP'iVp_kak
10) = 0, то получим
(Fp-]//0|Fp)+ dk (Fp-1 Hi | iVp^k0k) Ф (k) = mv (Fp- | Fp). (12.96)
При вычислении (Fp | Hi | iVp_k0k) только член V*Na дает вклад в Hi, так
что, используя перестановочные соотношения (12.81) — (12.84), находим
(Fp-1 Hi | iVp_k0k> = (0 | Fp.HiNi-tat | 0) =
“ S v \ <°1 |0),
_ h> /(c°k) б'з^р-р'). (12.97)
(2я)3/2 Y 2®k
Следовательно, равенство (12.96) принимает вид
w‘I,(k)=mv- (1298)
344 Гл. 12. Простые модели в теории поля
?т— --------------:------------------------------------------—----------
Аналогичным образом, умножив уравнение (12.95) на (iVq0i |, можно
получить уравнение
(m, - MN - ®„) Ф (к) - - Jt, . (12.99)
Если ту — mN — Ф 0, что будет иметь место^при ту < mN + Щ уравнение можно
разрешить относительно Ф (к)
Ф (к) = —-------------------------• (12.100а)
(2я) ,г У 2шк (ту —т^ — шк)
Это соответствует случаю стабильной V-частицы, которая не может
самопроизвольно распадаться на N и 0-частицу. При ту > /Hn Ф Ц
знаменатель может обратиться в нуль. Тогда мы разрешим уравнение
относительно Ф(к), понимая особенность в смысле главного значения:
ф(к>=тгкр wr- Г ’ (12.1006)
(2л) /3 у 2ик (тоу—mN —шк)
где Р означает главное значение. Причина такого предписания заключается в
том, что состояние одной частицы, которое мы хотим описать, должно быть
инвариантно относительно обращения времени. Подставляя это выражение для
Ф (к) в (12.98), получим уравнение, определяющее ту:
12 г* I / (со, \ |2
mv=mvo+j||sP $ <»к =»>у1 + 8».т. (12.101)
Постоянная перенормировки «волновой функции» Zy определяется из
требования, чтобы
d(Fp-|Fp)d = 63(p-p'). (12.102)
Если это требование выразить с помощью разложения (12.94), то получим
l = Zy (l+ ^ dk |Ф(к)|2^ . (12.103)
Введем функцию
"4Л
в
Тогда уравнение для собственных значений (12.101) можно записать в виде
F (ту — mN) = ту о — ту, (12.105)
а постоянная нормировки Zy может быть выражена равенством
Функция F (х) обладает тем свойством, что
СО _______
§ 2. Модель Ли
345
так что F (х) — монотонно возрастающая функция х, которая стремится к
нулю при х —> — со и непрерывна при х = ц. Качественное поведение F (х)
показано на фиг. 9 и 10. Значение ту в каждом случае определяется
пересечением прямой у = — х-\- (иг-vо — Wn) и кривой y = F(x).
Можно различить два случая. Если
— |х + ту о — mN <F(\l),
то корень уравнения (12.105) получается при х < р и ту —mN < р, что
соответствует стабильной V-частице. Приведенное выше неравенство всегда
может быть выполнено, если выбрать массу ту о достаточно малой. Интересно
отметить, что в условии стабильности^??^ — Wn'< М-
фигурирует масса физической частицы ту, и именно эта величина определяет,
разрешена ли энергетически реакция V—^N + 0. С другой стороны, если ту о
удовлетворяет неравенству
— jx + myo — mN >Е(ц),
то не существует корня уравнения ту о — ту = F (ту—т-$), расположенного
левее точки ж = |х, но есть корень правее этой точки, который
соответствует нестабильной V-частице [318]. Рассмотрим модель Ли
346
Гл. 12. Простые модели в теории поля
только для случая, когда V-частица стабильна и реакция V —> N + 0 не
разрешена энергетически. В этом случае физическое состояние V-частицы
можно записать в виде
I Г„),1 = ZV2 {| Fp) + \ dk ^ ------------------ |Яр_к, 0к}| ,
(12.108)
I (2я) '2 J у- 2(ок (my — mN —сок) J
a Zy дается равенством (12.106). Амплитуда вероятности найти в состоянии
^ dpg (р) | Fp)d при ^ jg(p)(2dp=l «голый» квант, соответствующий
состоянию в виде волнового пакета ^ dpg (р) Fp 10), равна
\ Ф I dp'g (р) g (р') (Fp j FP')d = ?Zv1''8. (12.109)
Таким образом, Zy есть вероятность найти «голый» квант в физическом
состоянии одной V-частицы.
Для дальнейших применений удобно представить наш гамильтониан в таком
виде, чтобы //0 описывал «голые» частицы с физической массой ту. Для
этого в выражении для Я добавим и вычтем член
Ьту ^ dpF*(p)F(p), и положим mY =/Дуо + 6mY, так что Я = Я'+Ят,
(12.110а)
Н0 = ту ^ dp V* (р) V (р) + ^ dp N* (р) N (р) + ^ dk со (к) а* (к) а
(к),
(12.1106)
H'i = Hi — bmv ^ dpF*(p)F(p). (12.110в)
Для лучшего понимания модели Ли рассчитаем предсказываемое моделью
рассеяние 0-частиц N-частицами. Мы должны, следовательно, найти состояние
| Nq, 0k)+ (напомним, что жирным шрифтом обозначаются состояния,
отмечавшиеся прежде значком d) — решение уравнения
Я | Nq, 0k)+ =’(Шк + mN) ] Nq, ек)+, (12.111)
которое соответствует падающей плоской волне ak I Nq) = | Vq, 0к) и
расходящейся рассеянной волне, обозначенной посредством )Х)+:
j Nq, 0к)+ = | Nq, 0к) + |ХД =
= 7V*a? j 0> + 1 Х>+. (12.112)
Далее,
Н | Nq, 0к)+ = Яа?|Кч) + Я|Х)+ =
= аЩ\\) + 1Н, а1]\Щ) + Н\%)+. (12.113а)
Так как Я | Nq) = mN | Nq) и
[Я, aJ] = «Bkei+.^37-g5dp^^-F*(p)Ar(p-k), (12.114)
то вместо уравнения (12.113а) получим
{mix + wk — Я) | %)+ = (q + к) 10). (12.1136)
(2л) 72 у 2сок
