Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 142

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 373 >> Следующая

'о 111 <0
I U :J->
(-i:)3 5 d4 J dl2 5 (M//j(f2)н,(i3) +... .
(И.148)
Ы Jo /()
Эта формула может быть получена также методом последовательных итераций
уравнения (11.141), т. е. равенство (11.148) является разложением Неймана
— Лиувилля для интегрального уравнения (11.141). Известно, что для
обычных задач рассеяния ого разложение сходится, если Hj — ограниченный
оператор. В задачах теории поля сходимость
должна быть исследована для каждой теории отдельно.
Рассмотрим теперь н-кратпый интеграл 1 0>-1
dt-, ? • • jj dt„Hj{ti)JII(t.1}...HI(tn). (11.149)
fo ^0 *0
Дайсон 1193, 194] заметил, что в этом выражении все интегрирования можно
проводить но полному интервалу от f0 до t, если наложить ограничение,
чтоб],! Ij было меньше (/<ем). Другими словами, можно записать 1п в виде
I
/„ = jj dt{ ^ dt-i . . . ^ dt,fl (tt — t2) 0 (/., — f3) . . . 0
(г,,-! — tn) X •
I o bj U)
>' H j pt) H j (t2) . ? . if j (tn), (11.150)
где 0 (t) — функция Хевисайда [0 (t) = + 1 при t > 0 и 0 (t) = 0
при t < 0].
Если допустима перестановка порядка интегрирования
II it
^ dtt ... ^ dt„f (ti, . .. /.,) • У ^ dti . . . dtnf(tai, ?. ? tan),
(11.151)
h to P k) U)
[где Y. — суммирование по всем перестановкам (ti4 . . . tn)], то интегра-
Y
лу fn можно придать вид
1 ! t
J p = ^ ^1 ^ ' ^ (ta± Y.o) • ? ? 0 (^CCn-1 ^CCn) ^
. ? P to tv 1q
1 f
XHI (Ц). • -Hj (Ц,) = ^г ^ dti ^ Л„Р(Я1(г1) . .. Hj (tn)). (11.152)
fo U)
21 Швебер
322
Гл. 11. Формальная теория рассеяния
Оператор Р определяется соотношением Р (Hj (tj) ... Hj (t „)) = 2 0 (tai
- taj . . . 9 ((^ - tan) Hj (tai) ...Hj (tan)
(11.153a)
я при действии на произведение зависящих от времени операторов обладает
свойством упорядочивать расположение множителей таким
образом, чтобы временное аргументы их убывали слева направо
'Линия t,=t2 Р (Hj (ti) .. . Hj (*„)) =
= Hj (tt) ...Hj (tj) ...Hj (th) (11.1536)
(<; > ...tj ... > th).
При равных временах P-произведение не определяется однозначно формулой
(11.153а), так как не определено 0(0). Однако ясно, что Hj (t)
коммутирует сам с собой, поэтому можно записать
Фиг. 8. P(Hj(t)Hj(t)) = Hj(t)Hj(t). (11.154)
В качестве поучительного примера дадим подробное доказательство равенства
(11.152) для случая п — 2:
t t t h
J dti J dt2P (Hj (ti) Hj (t2)) = 5 dti J dt2Hj (ti) Hj
(<2) +
Iq (q to to
t t
+ ^ dflj dt2H; (t2) Hj (ti). (11.155).
<0 h
На фиг. 8 областью интегрирования для левой части равенства (11.155)
является весь квадрат. С другой стороны, первый интеграл правой части
берется по незаштрихованному треугольнику I, тогда как второй интеграл —
по заштрихованному треугольнику II. Переставить операторные множители
Hj(t2) и Hj(ti) нельзя, но, предполагая, что можно изменить порядок
интегрирования, проинтегрируем сначала по tt. Тогда второй интеграл
преобразуется в
1, 43
^ dt2 ^ dtiHj (t2) Hj (ti).
to <0
(11.156)
Если теперь [переобозначить переменные, т. е. заменить П на <2 и <2 на
tt, то можно записать выражение (11.156) в виде
I ч
^ dti ^ dt2Hj (ti) Hj (12),
(11.157)
так что
1 ‘ ч
jj dti [ dt2P(Hj(ti)Hj(t2)) = 2\ J dti J dt2Hj(ti)Hj(t2). (11.158)
§ 6. V-матрица
323
Поэтому разложение (11.148) для U (t, t0) может быть записано в виде
t
и (t, to) = 1 + JT (?- 5 dttP (НТ (ti)) +
*0 *0 t t t
== 2 \ dti S dt%... ^ dtnP(Hj(ti)Hj(t$ ... Hj(tn)), (11.159)
71=0 *0 *0 *0
или, суммируя формально ряд, получаем
t
U(t,t0)-P\^e г« J. (11.160)
И действительно можно проверить, что разложение (11.159) является
формальным решением уравнения (11.142). Для этого продифференцируем
разложение (11.159) по t:
со tit
^^=2 К-Ш М *? • • • Sdt’-x
71=1 *Q lg 1д
X nHj (t) Р (Hj (ti)Hj (t2) ...Hj (Vl)). . (11.161)
При записи правой части равенства (11.161) использована симметрия
подынтегрального выражения и тот факт, что t больше Ч,
... Vi-
Поэтому можно вынести Hj (t) за знак ^-произведения и расположить его
слева от остающихся множителей. После этого равенство (11.161) можно
записать следующим образом:
со tl t
ih duj?M = Hj (t) ^ -^Т)! ( ~тУ 1 \ dtl \dh ? ? ? \ dtn-i X
n=1 t0 to to
X P (Hj (ti) Hj (t2) . . . Hj (Vl)) —
CO t t
= ЯП0 2 - \dtnP(Hj(ti) ...Hj(tn)) =
u=0 to <o
= Hj(t)U(t,t0);‘ (11.162)
и доказательство, что U (t, t0) в самом деле является решением уравнения
(11.7), завершено.
Чтобы получить ^-матрицу для задач рассеяния, нужно в разложении (11.162)
устремить начальный момент времени t0 к — оо, а ( к -f-oo. Однако при
переходе к пределу следует соблюдать осторожность, так как в члене re-го
порядка к пределу t0 —> — оо можно перейти п\ способами. Кроме того, если
для описания начального и конечного состояний не используются волновые
пакеты, то должен быть дан рецепт, как усреднять члены, периодически
зависящие от t0 и t. Простейший способ
21*
324
Гл. 11. Формальная теория рассеяния
преодоления этих трудностей заключается в определении «адиабатической»
[/-матрицы при помощи замены Hj(t) на Hj (t) ехр ( — а | /1), причем
переход к пределу а—»0 должен производиться только после выполнения всех
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed