Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
венно использовано при доказательстве соотношения (11.73). Это позво-
312
Гл. 11. Формальная теория рассеяния
лило применить лемму Римана — Лебега, которая гарантирует равенство нулю
в пределе t—>± со выражений вида ^ ехР { — ixt)f(x)dx с непрерывными
функциями / (х).
При вычислениях часто заменяют использование волновых пакетов
математическим приемом, состоящим в замене потенциала V (t) на V&{t):
F(0->M0 = e-emF(0, (1L75>
причем в пределе t —> — со
lim Не (t) = lim (Н0 + e_8,<|F (t)) = H0 (11.76)
t —> — CO t-> — CO
[Ve{t) называют «адиабатическим потенциалом»]. Тогда состояние 1^.(1)),
которое развивается из состояния |ср0) при t = — со в результате влияния
потенциала Ve(t), удовлетворяет интегральному уравнению
t
фа>—^ 5 e-z\nV{t’)\4E(t'))dt'. (11.77)
— СО
Уравнение (11.77) эквивалентно дифференциальному уравнению
ibdt | Ye (t)) = е-el'iy (t) | ЧД (t)) (11.78)
'с граничным условием | 4яE (t — — оо)) = |ф0). В частности,
|4rs(0)) удов-
летворяет уравнению
о
| Ч^е (0)) = | фа) —~ J \ 4E{t')). (11.79)
— СО
Явное представление для |ТГ8(0)) может быть получено путем подстановки в
правую часть уравнения (11.79) выражения (11.77) для | "Ф’е (#")):
| (0) ) = | ф0.) + V I Фа) +
0 V
_|_ ^ i_y ^ (H'eet'eiH0t'ye~iII0t' U ^"eet"eiH0t"ye-lH0t" | \р"е (?")).
— СО —со
(11.80)
Снова подставляя выражение (11.77) для |Т8(<")) в правую часть уравнения
(11.80) и продолжая затем эту итерационную процедуру, находим
l^(0)) = ]9a)+^o:HeFl9a) +
= di-si)
Отсюда, сравнивая уравнения (11.81) и (11.41а), находим
|ЧМ0))Н^>. (И-82)
Другими словами, решение зависящего от времени уравнения (11.77) | We(t))
позволяет вычислить |фа)- Введение «адиабатического» потенциала позволяет
во всех вычислениях обойти трудности со сходимостью, которые
§ 3. Картина Дирака
313
имеются, когда уравнение (11.77) не содержит множителя ехр( —е|?|).
Переходить к пределу е->0+ следует только в самом конце вычислений.
Подобным же образом, используя полную систему состояний {№)} + {!%»>•
убеждаемся, что
lim U (0, t) 1 фа) = | фа). (11.83)
/-+ СО
С помощью этих результатов, в частности соотношений (11.83) и (11.74).
можно выразить амплитуду рассеяния в виде
Sba = (фь, ^фа) = lim lim lim (<рь | U {t2, tt) | Фг) =
t2—+-\-co > — со |Фг>~+|фа>
= lim lim (<рь, U (t2, 0) U (0, h) фа) =
<2“* + СО ti~+~cc
= lim lim (U* (t2, 0) фь, V (0, Z4) фа) =
+ ti~> — со
= lim lim (U (0, t2) (fb, U (0, tt) фа) =
<2“+ + со —
== (фБ, Фа). (11.84)
Соотношения (11.84) для элементов А-матрицы будут играть важную роль в
приложениях теории поля. Их значение заключается в том, что ин-состояние
[ ф+) и аут-состояние |ф~) могут быть определены без разложения
гамильтониана Н на невозмущенную и зависящую от возмущения части 770 + П.
Отметим также, что в картине Дирака А-матрица может быть записана в виде
S = U( со, — со). (11.85)
Выражение для АЬа-матрицы может быть записано и другим образом, если
заметить, что
АЬа = lim lim (фЬ, U (t2, 0) V (0, tx) фа) =
f2“+-i-CO —> — CO
= lim (фь, е1Яо,2е_Ш(2фо) = lim ell'Eb~Ea'>i‘i (фь, ф^) =
t^~>+co t%—>-(-CO
Ьа)^2
= 6 {a - b) + lim e • (фь, Fi|?) =
= &(a-b)-2ni&(Ea-Eb)Rba, (11-86)
где
Rba = ('Фь, Пфа) = (фь, 7?фа) (11.87)
называют матричным элементом матрицы реакции, или 7?-матрицы.
Амплитуда Rba удовлетворяет интегральному уравнению
Rba = (фЬ, ПфД = (ф„, Пфа) + (ф„, V E~-H0+is, =
= Fba+2 (<Pb. V Еа-Н0 + и^) F^ =
С
= y^+2-E~t^- <“-88>
которое может быть решено методом итераций
VbcVca Еа — Ec-\-ie
314
Гл, 11 Формальная теория рассеяния
Л-матрица связана с важной величиной — вероятностью перехода в единицу
времени.
Увеличение в единицу времени вероятности того, что система, первоначально
находящаяся в состоянии а, в момент времени t будет найдена в состоянии
Ъ, дается формулой
lim — | (фь, U (t, t0) фа) |2. (11.90)
<0->-ОО
Отметим, что это выражение не зависит от t.
Доказательство:
-^-КФь, u(t, г0)фо)|2 =
= -Jf {(фЬ. U (t, t0) фа) (фь, U (t, t0) фа)} =
2
lm {(фь, V (t) и (t, to) фа) (фь, и (t, to) фа)} =
1ш{(фь, V(t)U(t, 0) и (0, t0)<pa) (фь, U(t, 0) U (0, to)cpa)}, (11.91a)
что в пределе t0 —?у — со переходит в 2
®ьа = —r~ lm {(фь, з^) (фь, elHote 1Д*фа)} =
2
= т-1т{(фь, Уф;) (фь, фа)} =
= -^-б(Ь - а)1т Дьа + т-Нт lmjE—jr—j- = п п е->-0 + а Ь —
= ^ 5 (6 _ а) 1т йЬа + ^ S (Еа - Еъ) | Rba |2, (11.916)
причем мы использовали уравнение (11.41) и следующее формальное
представление 6-функции:
+оо
6 (а;) = lim-А- ^ dkeihx~EЕ =
V ' е^о2я J
— СО
1 1 1
lim - . ,
e^,Q I { X — IS X-j-ie .
-s-ЙРТР- (11-92)
Дифференциальное сечение ваЬ перехода a^-b (а Ф b) равно вероятности
перехода в единицу времени, деленной на поток падающих частиц:
„______ 2я 6 (Еа Eb)\ Rba\2 . /а a QO\
°аЬ--% ®St ?
В действительности всегда интересуются только переходами в некоторую
группу конечных состояний с энергией в интервале между Еь и Еь + dEb и
плотностью Qf. Поэтому интересующая нас вероятность перехода
§ 4. Унитарность S-матрицы
315
в единицу времени дается формулой
