Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны, используя (11.180), мы находим, что
( И— г ihaX ^ ^ ~~со)1 Ро^ _
V д%) <Po|f/a(0, -00)1 Ро>
= (»ax(Au.(WP.(0. - ”)1 №.>)?,. (“•«»)
н, вводя обозначение
IB'. a\=___Fg(0, — оо)| Ро) (11184)
|Р,а} <Ро1^а(0, -00)1 р0> ’ 111.10*)
получаем
(р0|Я-е|р';а) = ?ЛаЛ^-(1п(р0|?7в(0, -со)|р0)). (11.185)
§ 6. U-матрица
Предполагая, что lim|P';a) существует
| Р') = lim| Р'; а)
(11.186)
после перехода в равенстве (11.183) к пределу a —> 0, получаем
Так что |Р') есть собственная функция Н, которая при А —» 0 переходит в |
Р0). Поэтому |Р') = |Р). Можно было бы провести аналогичное вычисление и
для U (0, -|- оо), и тогда мы пришли бы к выводу, что и вообще
Следует подчеркнуть, что U (0, 4- оо)| Р0) и U (0, — оо)| Р0) сводятся к
одному и тому же состоянию только в случае дискретного спектра.
Действительно, мы видели, что в случае непрерывного спектра 17(0, ±
оо)|Р0) суть ин-и аут-состояния | ф±), которые являются различными
состояниями полного гамильтониана.
Подставляя в выражение (11.182) для сдвига уровня представление
(11.188) для (р|, получаем
(Я - е)| Р') = lim (iftcd ~ In (Р0 j Ua (0, - со)| ро)^ | р') = (Р0|Я-
е|Р')|Р').
(11.187)
(11.188)
ЛЕ — lim i%ak
(Ро I Ua (0, 4-со) ~ иа (0, —00)1 Ро)
= lim ihaK a-^0
I ^ a I Ро)
Фо\^иа{со, 0)-Ua(0, — оо) | р0>
= lim -к i%ak —
a-»0 Z
что и требовалось доказать.
(Ро I $а I Ро) -gjj- (Pol Ca(co, — со)| Ро)
(11.189)
(Ро I I Ро)
ГЛАВА 12
Простые модели в теории поля
В этой главе мт.т исследуем три системы взаимодействующих полей: 1)
скалярное поле, взаимодействующее с нуклоном (без учета отдачи нуклона),
2) модель Ли и 3) модель Чу для взаимодействия мезонов с нуклонами. Два
первых примера допускают точные решения для многих важных состояний
соответствующих систем. Третий пример, модель Чу, хотя и не решается
точно, объясняет многие важные черты рассеяния мезонов на нуклонах при
низких энергиях. Анализ этих простых моделей даст нам понимание как
результатов, так и проблем квантовой теории поля.
§ 1. Скалярное поле
Простейшая решаемая модель системы взаимодействующих полей состоит из
нейтрального скалярного поля (мезонов), взаимодействующего с бесспиновыми
фермионами («нуклонами»), энергия которых по предположению не зависит от
импульса. Эта система полей описывается гамильтонианом
H = H0 + Hu (12.1а)
#0 = т0 ^ dp ф* (р) ф (р) + ^ dkto (к) а* (к) а (к), ш (к) = ]/ к2 -j-p2,
, (12.16)
Hl = {2^ I dp ^ (Р'+ ^ (а(к) + а*(“к))’ (12.1в)
где ф(р), ф* (р) и а (к), а* (к) — соответственно операторы уничтожения и
рождения нуклонов и мезонов. Они удовлетворяют перестановочным
соотношениям:
[ф (Р), Ф*(Р')]+ = 6СЗ>(Р-Р'), (12.2а)
[ф (р), Ф (р')]+ = (Ф* (р). Ф* (р')]+ = 0, (12.26)
[а (к), а* (к')] = 6(3) (к — к'), • (12.3а)
[а (к), а (к')] - [а* (к), а* (к')] = 0, (12.36)
[ф (Р), а (к)1 — [ф (р)> а* (к)1 — [ф* (?)> а (к)1 =
= [ф* (р), а* (к)] = 0. (12.4)
§ 1. Скалярное поле
329
Функция / (к2) описывает «протяженность» нуклона и играет роль обрезающей
функции. Предполагается, что она достаточно быстро спадает при больших j
к!, чтобы все интегралы, встречающиеся в теории, были конечными. Так как
энергия нуклола не завпсит от его импульса, то влияние отдачи не
учитывается, хотя импульс и сохраняется в силу трансляционной
инвариантности гамильтониана. Иначе говоря, оператор полного импульса
Р = jj dpрф* (р)ф(рН
коммутирует с Н. Оператор Р является генератором пространственных
сдвигов, причем
егР' йф (q) е~гР'd = ф (q) е~г(р d, егР(1ф* (q) e~lP d = ф* (q) е+*ч ф
егР' da (k) e~iFd — а (к) e~tk'd, eiP-da* e-iP d — a* (k) e+ik-0
Полученный путем сдвига гамильтониан И' равен Н, т. е.
Н' — eip'aHe~ip-a — Н. (12.7)
Это служит доказательством трансляционной инвариантности И. Из (12.7)
следует, что [Н, Р]=0, т. е. гамильтониан (12.1) обеспечивает сохранение
импульса.
Благодаря тому, что каждый член в И содержит по меньшей мере один
оператор уничтожения, который может стоять правее всех операторов
рождения, состояние вакуума [ 0), определенное соотношениями
ф (р)| 0) = а (к)| 0) = 0 для всех р и к, (12.8)
является собственным состоянием Н с собственным значением 0. Аналогично,
одномезонное состояние а*(к)|0) есть собственное состояние В с
собственным значением ц>к- С другой стороны, ф*(р)|0) не является
собственным состоянием И. Обозначим посредством 4я 11 (р)) «физическое»
однонуклонное состояние. Оно является собственным состоянием //. а также
собственным состоянием Р с собственным значением р:
Р|фМ>(р)) = р[Щ<1>(р)) (12.9)
и при константе связи X, стремящейся к нулю, переходит в состояние
ф*(р)|0). Чтобы получить явное выражение для этого состояния, заме тим,
что оператор
А^= ^ йрф* (р)ф(р) (12.10)
коммутирует с Н и, следовательно, также является интегралом движения. Он
соответствует числу присутствующих тяжелых «квантов». Термин «кванты» мы
используем для обозначения частиц, связанных с «голыми» полями,
описываемыми гамильтонианом Н0, в отличие от физических частиц, которые
