Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 147

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 373 >> Следующая

другому:
(Н + сок. — т) ак-1 Y11’ (р + к)) = — -77=^ | 'Р(1> (р + к
— к')). (12.45)
(2я)з |/2шк.
Так как оператор Н-\-и>к—т в подпространстве однонуклонных состояний
является положительно определенным, то он имеет обратный оператор.
Поэтому, умножая равенство (12.45) на (На>к'— т)~Л, будем иметь
ak-|T(1>(p + k))= (12.46)
(2я) 72 сок, у 2шк,
Выражение для (Т(1> (р+ к) | ак получится, если взять равенство,
сопряженное к (12.46). Подставляя эти выражения в правую часть (12.43),
находим
_(р', к'|р, к)+ = ±(р', к' | р, к)± =
= б(3> (р — р') б(3> (к —к'), (12.47)
так что Д-матрица равна нулю и рассеяния нет. Взаимодействие только
«облачает» нуклоны, но не ведет ни к какому другому взаимодействию между
мезонами и нуклонами. В этом можно убедиться непосредственно,
336
Гл. 12. Простые модели в теории поля
если произвести некоторое унитарное преобразование. Оператор
U = e*B, ' (12.48а)
5 = ЛЧ’*(Х)Ч,(Х) S. [“* <к> - «(- 41 =
" (2^/2 5 d*P S dS,i ^ (р + к) [а* (к) - а (“ к)1 (12.486)
обладает тем свойством, что он оставляет вакуум неизмененным, а действуя
на «голое» однонукдонное состояние ф*(р)|0), дает «облаченное»
однонуклонное состояние j *ТШ (р)), должным образом нормированное. Таким
образом, этот унитарный оператор как бы присоединяет к нуклону его
«голое» мезонное облако. Определим оператор [339]
’[’а (р) = eisi|)* (р) e~iS =
= V (р) + {j [S, (р)1 + |г [S, V (Р)11 г • • • =
= S<pq 5 (2)’*e_i(4-p)'х v (q)х
>'4>j ,Д;\ k-'<d*(k)- а( - k)) I . (12.49)
L (2л) - J } 2ссД(к) J
Действуя на вакуум j 0), оператор ’[’а (р) дает собственное состояние Н с
собственным значением т, которое одновременно является собственным
состоянием Р с собственным значением р. Так как преобразование унитарно,
то операторы фд и ф<| опять удовлетворяют каноническим соотношениям
антикоммутации
ИЫр), ’I’d (р')1+ = 6<3) (р-р')- (12.50)
Определим тоже «облаченные» ’) операторы рождения мезонов
а§ (k) = eiSa* (к) e~iS =
- а* (к) + \ d W (q + к) ф (q) ^ . (12.51)
(2л) J у 2(oJ (к)
Оператор я§ (к) обладает тем свойством, что, действуя на |0), он дает
одномезонное состояние с импульсом к и энергией сок, так как
«3 (к) |0) = а* (к) 10). (12,52)
Гамильтониан, выраженный через облаченные операторы, есть
Нй = Н0(1 + Н1й, (12.53)
где
Нod = т \ d3}p\fa (р) 'фд (р) + а3/шкад (к) аа (к),
Hm = ~(if $ d3q ^ d'p \ ^ (р -г к) ^ (Ч) ’I’d (Р) ’I’d (q + к).
(12.54а)
Таким образом, выраженный через облаченные операторы новый гамильтониан
взаимодействия Hia больше не содержит взамодействия. мезонов
’) Этому соответствует значок d (от английского «dressed» — «облаченные,
одетые»),— Прим. ред.
§ 1. Скалярное поле
337
с нуклонами и ведет лишь к парному взаимодействию нуклонов. Статический
потенциал взаимодействия между двумя нуклонами дается выражением
v c—o-jsp 5 <“•*>
так как Нц можно записать в виде
Нт — ^ \ d3x'tyl (х') (х) V (х — х') (х) i|?d (х'). (12.546)
[Вспомните равенства (6.108) — (6.110).] В пределе при / (k2) —1, т. е.
для точечных нуклонов, потенциал (12.55) переходит в потенциал Юкавы:
<‘2.56)
Простота рассматриваемой модели позволяет также вычислить в конечном виде
матрицу U (/, /0) и, таким образом, проанализировать действие
адиабатического формализма. Мы закончим этот параграф о скалярной модели
кратким изложением нестационарного метода для скалярного поля.
Мы хотим вычислить для рассматриваемой теории оператор сдвига во времени
U (t, t0) в картине взаимодействия, в частности, и для случая, когда t,
?о <0. Оператор U (t, t0) подчиняется уравнению
idtU (?, t0) = Hi (t) U (t, t0), (12.57)
где
Hi (t) = eiHatHje-iH<>< =
\ d3p \ ф* (p + k) ф (p) (a (k) + a*(- k) е1°>*‘) -
J J V 2w,r
(2я)3^ J J у 2cok
— 6m \ d3pty* (p) ф (p). (12.58)
Заметим, что равенство (12.58) подразумевает, что разбиение гамильтониана
на свободную часть и возмущение таково, что «голые» кванты имеют массу
т. Так получается, если в (12.1) вместо т0 написать
т0 = т0 + бт — Ьт = т—бт и рассматривать член бт ^ г|з* (р) гр
(р) d3p как
часть возмущения.
Согласно нашим прежним правилам, «адиабатическая» матрица Ua является
решением уравнения
idtUa(t, t0) = Hi(a\ t)Ua(t, t0), ? (12.59а)
Hi (a; t) = e~“T//j (t). (12.596)
Чтобы получить решение (12.59а), напишем
t
Uа (t, t0) = exp ? — i ^ Hi (a; t')dt'^V (t, t0), (12.60)
*0
22 с. Швебер
338
Гл. 12. Простые модели в теории поля
так что в силу (12.59) оператор V удовлетворяет уравнению
;
"
<0
idtV (t, t0) = (ехр ? I ^ Я/ (a; t') dt' J (Я/ (а; t) — idt)
t
X exp ? — j jj Hi (a; t')dt'^V (t, t0). (12.61)
Чтобы вычислить правую часть уравнения (12.61), положим
t
t д ехр [ —гсг U Hi (a; t') dt'\
exp [ ia ^ Hi (a; t') dt' J ----------------------------------^----------
------------------=Da(t, t0), (12.62)
*0
откуда
lDa]a=0 = 0 (12.63)
Й
t t
da
причем
-гехр
? ia ( Hi (a; t') dt' ~^Hi(a',t) expj^ — ia ^ Hi (a; ?') <Я j , (12.64)
')? (12.65)
L».
Точно так же получаем
t
ia J Hj(a; t’)dt‘ * — ia \ Hj(a\ t')dl'
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed