Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Модель Ли
347
Таким образом, поскольку рассеянная волна (при t=-\-co) должна содержать
только расходящиеся волны,
|Х)+ = _Ц__^ р-T*(q + k)|0), (12.115)
1 ' (2я)3/2 Y 2wk m^ + ak-H + ie V '
откуда
I N„, 0k)+ = |iVq, ek)H y*(q + k)|0), (12.116)
1 4 ' 1 4 (2jt)h Y2wk mN + cok-#-f;e '
причем
+(Nq-, 0k.| Nq, 0k)+ = 6<3> (q' — q) 6<3) (k' — k). (12.117)
Такую нормировку следует ожидать, если исходить из общих положений
(вспомним § 2 гл. 10). Это можно проверить и непосредственно, используя
технику, аналогичную той, которая далее потребуется для вычисления 5-
матрицы. Поэтому мы изложим здесь эту технику. В сущности, нам нужна
формула
1
? a k — ak
х—//-J-ге х—JI — tok -J— ie '
Чтобы доказать формулу (12.118), заметим прежде всего, что
СО
1
. ак= — i ^ dke* (x+iE- но) —
0
СО
= — I jj (a:+ie)e~^o^ —гЯ0^ =
о
оо
= - г ^ dXate~H^+Ho"x~ie)k = о
= а? ----— — . (12.119)
х—Н0—сок —j— ie ' '
Используя далее алгебраическое тождество
11 11
-^. = 1 — -i-rb-, (12.120)
a~Yb а а-\~ о а х f
справедливое как для чисел, так и для операторов, можно написать
1111 ' (12.121)
х — Н0—х — f/0-[-ie х—х—H0-\-iB
Поэтому
1 * * 1 , 1 ТТ * 1
Нк - 77 ~ i у— —7, j 7” Л jHk
х-—ДД-ге х — Н0—сок—(- te х—H-\-ie х — Н0 —
сок-[-ге
= ai - -47 L + ? - }т - ~ alHj 1
х — Н0—шк-|-ге х—х — Н0 — mk-|-ie
(12‘122)
348
Гл. 12. Простые модели в теории поля
Перенесем второй член правой части равенства в левую часть и получим 1 —
(х — #„ — Шк — Hi + ге) 1
x-H+ie К 1 > —
= ai J=5^Si+S+ №? “SI ,-я.-0,„+Т, ? <12'i23>
Сокращая последнее равенство на множитель (х — Я0 — и>к + ге)'1 и умножая
затем справа на (х — Н — шк+ ге)'1, получим (12.118).
Используем теперь равенство (12.118) и перепишем равенство (12.116),
определяющее ин-состояние | Nq, 6к)+. Прежде всего выразим «голое»
состояние F*(q + k)|0) через физическое состояние V-частицы:
F*(q-fk)|0> = Z-V2jVq+k>_
Я„ С dk7(<BtO
\ г\Яч+*-г, 0к'>, (12.124)
(2я) у 2cok, (mv —mN—сок.)
так что
m_N"Ьшк— H-\-iB ^ (ч + k) I 0) — |^Ч+к)
_ Л0 Г_____________(2к'/(сок,)____________________ 1________________
~ (2я)3/2 J /2^7 (mv-mN-cok,) mN + “k~Я + ie ак'| 2Vq+k-k'). (12.12 )
Перепишем теперь второй член с помощью равенства (12.118):
1 1
mN + mk—Я-ре ак'! ^q+k-k') — m m I г-е Х
'ятшк
я0 / К-)
(2я)3/г Y2сок, «n + “] Комбинируя (12.125) и (12.126), получаем
X (а? I vVq+k_k') + -Цп- i i-1F-n- v* (q + к) I 0)). (12.126)
I 1 ч+ ' (2я)3'2 /2сок, mN + cok-tf + ce J '
1 I 11
l^Q+k) = p , c,,,. 1
G+ (cok) — my
dk7((ok,)
uk- (“к—шк
где
I/КО l:
‘V—mN — ali’)*wk' кшк — шк Следовательно, нормировочный интеграл дается
выражением
Х{|^+к) + ^°зтг\ М’ (12-127а)
I (2я) '3 J у 2сок, (сок — сок,-1-ге) J
G+ (С0к) = (1 + tIv \ dk' 1 -V .^Л • (12.1276)
v ; V (2я)3 J (wy — mN — °V)2(V (^к — ^к'“Гге)/
+
(Nq', 0k|Nq, 6к)+ = 6<3> (q - q') 6«> (к - к') + ^ ; X
x6 (q + k q к){с+(ш) mN + co' — mv}x
... 1 , 4 /(m)/(to') 1 L__ v
ш — со'+ге 1 (2я)3 j/4coco' G+ (со) G+(co')
X г---------------------r—--------6<3) (q + к — q' — к') X
ton + co —my mN-\-a> — mv V4 H '
X ji +тДу \ dk*-™-;------------------------------------------------------
----------------(12.128)
1 (2я)3 J 2co (со —со —:e) (со— со -[-ге) J 4 '
§ 2. Модель Ли
349
где для краткости мы положили cok = co, (ок. = со' и т. д. Комбинируя
выражения в скобках второго члена справа, легко проверить, что этот член
уничтожается с последним, так что остается только первый член бед (q —
q') 6(3) (k — к'). Тем самым равенство (12.117) доказано.
Совершенно аналогично можно проверить, что решение уравнения Я |N„ 0k>-—
(®k +mN) | Nq, 0k)-, которое на бесконечности имеет вид плоской волны
плюс сходящиеся волны, дается выражением
|N„ 0к)-НЛГ„ вк> + ^Т^т^;т5;^--я.К*(, + к)|0)
(12.129)
с нормировкой
-(Nq., 0k' | Nq, 0k>- = 6(3>(q'-q)S(3)(k'-k). (12.130)
Сравнивая равенства (12.129) и (12.116), мы видим, что
:Nq, 0k)+ = |Nq, 0к>__2я11^~^б(ткН-сок-Я)Т*(д + к)|О),
(12.131)
так что 5-матрица для рассеяния из состояния | TVq, 0к) в состояние Nq-,
0к') есть
-(Nq., 0k'|Nq, 0к)+ = S(3) (q — q') б<3> (к — к') —
-2m-^|7r^gL6(cok-COk.).(Nq., ek'|K*(q + k)|0>, (12.132)
а Д-матрица имеет вид
(ЛГ,., ек.|Л|ЛГ„ о.)- (2^,а .(К,-, 0кТг* (q + к) 10) =
“ WT71 (О I Г (q' + к-) V* (q + к)! 0). (12.133)
В последнем выражении шк = Шк', так как матричные элементы берутся на
энергетической поверхности. Чтобы вычислить (12.133), используем опять
равенства (12.127) и получим
<ЛГ,., МЯ1*. «-4r^f--T‘~.3...(k4-,-k-q)x
v Г1 Г 1 / (<Q I2 L_ Wt'l-1 М‘) r-ш
X | 1 (2я)3 J 2со" (my — wN — со") cok — co"-j-('e J ‘ ( ^
Заметим, что в пределе точечной частицы, т. с. при / (ш) = 1 интеграл
в знаменателе равенства (12.134) ведет себя при больших к как ^ dk/k
и, следовательно, расходится. Поэтому в пределе Д-матрица обращается в
нуль и рассеяния нет. Можно, однако, переписать знаменатель, используя
алгебраическое тождество
1 1 , ? а — Ь ,лп
350
Гл. 12. Простые модели в теории поля
Тогда
(2я)3 J 2оз" (теу — mN — оз") (о — сo" + ie
