Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
А2 С , I / (ш,/) I2 (mv — ттм —ш)
= +12я)Т ^ ’ 2w,r(m^^N — ю" + ie) ’
(12.136)
так что Л-матрицу можно записать в виде
(N,., еь.|Я|ЛГ„ Ц = ~gУ (* + q - v-q') X
X Г1 +4ri [ 1 _1 • (12.137)
l. (2я)3 J 203 (my — TON— 03 )2(оэк —03 —|— гe) J 4 ’
Матрица R останется конечной даже в пределе точечного источника, если
определить новую, «перенормированную», константу связи X с помощью
соотношения
ka = ZYk*0 (12.138)
и выбрать ее конечной. Таким образом, «перенормированная» константа связи
в модели Ли вводится, чтобы рассеяние не исчезало в пределе точечного
источника.
Мы могли бы рассуждать несколько по-другому, заметив, что параметр g,
входящий в теорию, должен быть определен в терминах наблюдаемых величин,
например, с помощью сечения N-0-рассеяния при некоторой заданной энергии.
Предположим, что такое «измерение» существует и мы знаем длину рассеяния
а. Заметим, что равенство (12.137) предсказывает рассеяние только в ^-
состоянии. Поэтому, если 6 есть фаза (сдвиг фазы) б'-волны, то
приведенная ^-матрица для ^-рассеяния есть
, (к) = e2i6(h) = i _ 4л 2ш ++Ц+ , (12.139а)
где
<jVq.,0k.|?|Mq, ek) = 6<3>(k'+q'-k-q)6ш(й_й')_1_8(й), (12.1396) ибо
б (со - со') = Г б (к - к'), (12.140а)
д==-^- = ±, (12.1406)
dk со 4 '
А{к)^^1Ш1-------------- 1 , - (12.141)
v ' (2я)3 2со mN-{-(D — m-у N
B^==l2nf S dk" 2to" (mv—оэ") (w —co" + ie) ' (12.14*2)
Отсюда заключаем, что
tg 6 (к) 4я2соА (к)________
* ~ 7 + 1/2 (Я(*)+ВД ~
= 4ла -у#*- —— х 2 (2я)3 + w — mv
X [» + Wp S Tshndk-)~‘ ? (,2Л43>
§ 2. Модель Jlu
351
Длина рассеяния а, которая определяется как lim (— tg 6 (к)/к), дается
h-> О
выражением tg б (к)
а =
А„3
. Г 1 + Л. Р Г JIMf дш- 1 . (12.144)
+ р —mv L 4я J (otv —mN—ш ) (|х — со ) J v '
4я mN-)-p-
В
Теперь можно выразить величину А2/4я через «измеримую» величину а,
поскольку
СО_______________________________
= ^ Р С dm" - (12.145)
V. 4я у a mN-fp —теу J (mv —mN —w )(ц —со )
В
так что в общем случае
i4^=-^b^“l/(^)l2-[l/0*) [2 + a(mN+p-mv)x
V/ /?> ,, \ Р Г I / (ш”) |2 Т^ш"2 p2dco" 1 ,.0 1/г>\
х (mv —mN_co")(m —со") (ц_со") J ‘ (12Л4Ь>
В
Отметим, что теперь tg6 (к)/к выражается только через «измеримые»
величины. Эта процедура опять дает конечную, не равную нулю амплитуду
рассеяния в пределе точечного источника, /(со) —» 1. Представление
амплитуды рассеяния как функции наблюдаемых величин в общем случае будем
называть «перенормировкой».
Вообще говоря, «перенормированную» константу связи можно определить,
сравнивая точное выражение для амплитуды рассеяния с результатами теории
в низшем порядке теории возмущений при кинетической энергии, равной нулю.
Нужно подчеркнуть, что такая «перенормированная» константа связи
отличается от определенной равенством (12.138), хотя и связана с ней, как
мы увидим, с помощью простого конечного выражения. Амплитуда N-0-
рассеяиия в низшем порядке теории возмущений есть
= (Nq-, 0k' | Яг1 Hj I Nq-, 0k) ,
борн. mN + mk—Uo+ie
(12.147)
так что
_ IУ (а») |
r (A) 6(3) (q' -f- k' — q — k)
r(k)
(12.148)
борн. (2jt)3 2co(craN + co — mv)
Определим теперь перенормированную константу XR требованием, чтобы
амплитуда рассеяния при импульсах мезонов, равных нулю, была равна
амплитуде в борновском приближении, в которой постоянная XI заменена на
Х%:
I 1 (й) I2
г (к)
ft” (2л)3 2p(mN-fp —ту) Х
оо ________
X П _lJL Р f 4я | / (со") I2 2 . „1-1
Г1 4- -^-Р ? I у «з ц2 , „ 1
I.1 (2я)3 Г J (ту-тк-сй")(ц-ш") J
XR I / (Ю I2
(2я)3 2ц (mN-f ц — ту) ’
(12.149)
352
Гл. 12. Простые модели в теории поля
откуда
«•=777МГ7Г--------------- ’ (12Л50а)
Г_________1 /(to )\2dk
J 2со" (niy — mN—-со"
(2л)3 J 2со" (тга-у — mN—-со") (|1 — со")
К = п----------------------—--------------------- • (12.1506)
° <______*R_ р С 1 / (и") I2 V
(2л)3 5 2ш" (tov —mN —со") (ц —ш")
Константа связи Xr связана с константой связи X2 = Z^X\ соотношением Х2 =
i-----------------------------------—--------------------------- .
(12.151)
Xr , , Г _[ / (со") |2 tfk"_ v '
(2я)3 (9т mN _mv) J 2(0" (niy — mN — со")2 ((X — to")
Заметим, что интеграл в равенстве (12.151) конечен даже в пределе при /
(со)—>1, так что если задана константа Xr, то Л2 определяется однозначно.
Поэтому эти две константы связи равноправны. По причинам, которые станут
ясны позже, мы будем работать с перенормированной константой,
определенной равенством X2 = ZyX\\
^ = тёщь' (12.152а)
так что
где
^ = 7=Ж’ (12.1526)
[ dk 1 f (m) 12-------(12.153)
л)3 j 2co (»iy—ton —со)2 '
(2л)
Отметим, что для любого фиксированного значения L, т. е. для заданной
обрезающей функции, существует максимальное значение перенормированной
константы связи. Этот результат схематично изображен на фиг. 11.
Как указывалось выше, применение изложенного формализма к «физической»
ситуации заключается в том, что фиксируется значение X2, а обрезающая
функция / (со) подбирается так, чтобы получить согласие с
«экспериментом». Поэтому возможно, что для заданных X2 и / (со) (или L)
