Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
32Д Лт2
fo
f = e ‘o ( dt'lHi(a; t"), Я/(а; t)]c .(12.66)
Коммутатор в (12.66) вычисляется просто. В итоге имеем [Hi(n, Hi{t)]=j^з
5 (еш^-п-е-1^‘-п) X
Х { ^ d3pi \ d3p2^* ^Pl + k) (р2 _ k) ^ (р‘) ^ (р2) “ \ d3pУ* (р) ^ (р)}
•
(12.67)
Можно проверить, что [Hi(t"), Hi(t)] коммутирует с Hi(t'), поэтому
8W да2
S-= e-“l‘l \ dt"e-*r\ № С </ч ? <к2) 2 (е4“к(t-П _
2 J (2я)3 J 2шк 11 > Л
<0
х { ^ d3jDi jj d3p2^* (Pi + к) 1|5* (р2 — к) г)5 (р4) г)5 (р2) -—
^й3рг)5*(р)г)5(р)) = Яа(0. (12.68)
Отсюда видно, что dsDa/dos и все высшие производные равны нулю. Так как
§ 1. Скалярное поле
339
то, подставляя в это выражение полученные значения d2Da/da2 и , находим
да J о=0
t t
ia\‘ Яг (a; t')dt' —га\ Hj(а; i')di'
яп J "
_5.=,_ге 'о Hi(a\t)e 1<> = айа (г) — гЯ/(а; г),
(12.70)
так что
а
Яа = [Яа]0=о + ^ ^-da' = ^-Ra(t) — iaHj(<3.\ t). (12.71)
о
Используя равенства (12.61) н (12.71), окончательно получим
idtV(t, to) = i [^-Do]a=iV(t, to) = ±iRa{t)V(t, to), (12.72)
откуда
t
V2 | Ra(t')dt'
V(t, to) = e t0 (12.73)
и
t t
-i J Hj(ci; (')di' 1/2 )' Ha(f')dC Ua(t,to) = e to e to ш
(12.74)
Наконец, вычислим вторую экспоненту t t г
j Ra(t')dt' = ~ J J df'[#/(*"), ^(Ole-01'1'! (12.75)
для частного случая t0 = — оо и t = 0, когда
f Н ^ ^ 1 %г Г d3k 1 / <k2) i2 Г 1 J_1.Lv
j “ ' ' 2 (2я)3 J 2cok |_ a — icok a-}-uok J a
— CO
x {Id3pi Sd3p2^* ^p*+^_^pi^ ^ ^ ~ \d3p^* (P) ^ (P)}= = iT ^ d3k 2^^ { \
d3pi S d3p2$* (Pl + (Pz “ (p‘) У (P2^ _
— ^ й3рг|;*(р)г|;(р)|+0(а), (12.76)
где мы обозначили 1/a через Т. Последняя величина играет роль большого
промежутка времени, в течение которого развивается система. Подобным же
образом о
J Я/ (а; = J S d^*(P + k)^(p)(a(k)-a*(-k))-
— ^^d3p\р* (р) 4» (Р), (12.77)
22*
340
Гл. 12. Простые модели в теории поля
так что
иа{ 0, _со) = ехр [^“з/-2 5 ~ущ ]d3P (р + к) Ф (р) {а (к) - а* (- к)) +
| ,-тА2 С
+ (2л)3 3 2ш| х
Х{ \ d3pi\ 2^* (Pi + к) <Р2 — к) ^ (Pi) ^ (Рг)} + 0„(«) ] -
(12.78)
Отметим, что контрчлены, соответствующие перенормировке массы, в
приведенном выше выражении уничтожились, что и следовало ожидать, ибо
тяжелые кванты уже в невозмущенных состояниях имели правильные массы.
Можно проверить, что вектор Ua{0, — оо) г])* (р) | 0) в пределе при а—>0
действительно является собственным вектором Н. На самом деле На(0, — оо)
есть не что иное как ранее введенное унитарное преобразование,
«облачающее» частицу.
§ 2. Модель Ли
Вторая решаемая модель теории поля, которую мы рассмотрим, — это
модель Ли [482, 415, 416] (см. также [374]). Она очень
похожа
на модель со скалярным полем, за исключением того, что нуклоны
могут теперь находиться в двух внутренних состояниях и могут переходить
из одного состояния в другое. Эти внутренние состояния произвольно
названы N-частицей и V-частицей; V-частица может испустить бозон,
называемый 0-частицей, и перейти в N-частицу; N-частица не может
испустить 0-частицу, но может поглотить ее и перейти в V-частицу; V-
частица не может поглотить 0-частицу. Разрешенные процессы можно
подытожить соотношением
V^N + 0.
Таким образом, модель Ли состоит из трех взаимодействующих полей: двух
фермионных, описывающих V- и N-частицы, и бозонного поля, описывающего 0-
частицы.
Как и в случае модели со скалярным полем, энергии нуклонов предполагаются
не зависящими от их импульсов, нуклоны считаются бесспиновыми, импульс
сохраняется; 0-частица считается нейтральным бозоном со спином, равным
нулю. В некоторых отношениях эта модель даже проще модели со скалярным
полем, однако она обладает некоторыми интересными чертами, которых нет у
модели со скалярным полем. Например, возможно N-0-рассеяние и возникает
перенормировка «заряда». Гамильтониан, описывающий эту систему полей в
шредингеровской картине, определяется выражением
Я = Я0 + ЯХ, (12.79а)
где
Н0 = mYо ^ dpT* (р) V (р) + пгш ^ dp N* (р) N (р) -f ^ dk coka* (к) а (к)
(12.796)
§ 2. Модель Ли
341
yip 5 ^p{^(p)^(p-k)a(k)+^(p-k)a*(k)^(p))-
(12.79в)
Обозначения очевидны: N* (р) и N (р) — операторы рождения и уничтожения
N-кванта с импульсом р; F*(p), V (р) и а* (к), а (к) играют ту же роль
соответственно для квантов V и 0. Параметры нгуо, h?no являются массами
квантов V- и N-поля, а о>к = У (У + к2 — энергия 0 - кванта с импульсом к
и массой р0- Параметр характеризует силу связи между полями, а обрезающая
функция Д (к2) = / (шк) = / (<вк) описывает размеры области
взаимодействия. Она введена, чтобы избежать расходимостей, связанных с
точечным взаимодействием вида
Н1 — ^ F* (х) N (х) 0 (х) dsx + э. с.
(Здесь 0 (х) — фурье-образ a (k)/j/2cDk-) Пренебрежение отдачей фермион-
ных квантов характеризуется тем, что энергии V- и N-квантов не зависят от
импульсов. Можно было бы рассмотреть более общую теорию, в которой
гамильтониан имеет вид
Я0=$ dp Е\о (р) V* (р) V (р) +
+ ^ dp EN0 (р) N* (р) N (р) -у ^ Як to (к) а* (к) а (к) (12.80)
(см., например, [806]). Хотя такая модель и решается, она усложняет
формальные стороны вопроса без всякого выигрыша в понимании физики дела.
