Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 146

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 373 >> Следующая

Н = ^ d3k со (к) (а (к) -f v (к))* (а (к) + v (к)) -р
-f mo — ^ d3k | v (к2) |2 со (к) (12.28а)
= ^ d3kc* (к) с (к) со (к) -f т, (12.286)
§ 1. Скалярное поле
333
где
U (к2) =
к/( Щ
Y2 (2я)з Ш3 (к)
с (к) = а (к) + v (к).
(12.29)
(12.30)
Нужно отметить, что операторы с (к), с* (к) удовлетворяют тем же
перестановочным соотношениям, что н а (к). Гамильтониан (12.26),
выраженный через с* (к), с (к), диагоналей п допускает простую физическую
интерпретацию: он описывает источник, характеризующийся величинами тп и
/, и совокупность свободных мезонов, которые не взапмодействуют с
источником и друг с другом. Зададим вопрос: принадлежат ли операторы с
(к), с* (к) тому же самому представлению перестановочных соотношений, что
и операторы а (к), а* (к)? Ответ будет утвердительным только в том
случае, если существует состояние без частиц 1 ГГ"0), Для которого
c(k)[4ro) = 0 при всех к. (12.31)
Если для | Чг0) применить представление в пространстве Фока [определенное
с помощью чисел заполнения, соответствующих оператору
Na — ^ d3ka* (к) а (к)], то
' чпо>
ЧТ (М
ГО
V™ (к,, к2, . . . к„)
(12.32а)
или, что эквивалентно предыдущему,
ос
: ?о) = ?8» 10) ч- 2 ] <Р!н ... 5 d*k№' (ki- • • • k") X
«=1
a* (k,) . . . a*(kn) j 0).
Равенство с (k) | = (a (k) -y v (k)) j ?0) =
0 означает, что
у n + iiF«+и (k) kt, ... kn) = v (k) ЧГ (kb . . . k„),
откуда
тг (k4, k2, ... k„)
у n\
II (-t-(ko)-r;
n — i
Условие конечности нормы состояния | ?0) есть
СО
(То, W0) = | Ч™ (22 зК J d*k | п (к) \*у < оо
п= О
ИЛИ
^ d% | v (к) j2 = %2L < оо.
(12.326)
(12.33)
(12.34)
(12.35)
(12.36)
3S4
Гл. 12. Простые модели в теории поля
Таким образом, операторы а (к) и а (к) + о (к) будут одновременно
обладать состоянием без частиц только, если Z < оо. В противном случае,
если а (к) имеет состояние без частиц, то с (к) соответствует другому
представлению перестановочных соотношений. Эти факты существенны при
обсуждении применимости теории возмущений к гамильтониану (12.26), если
Hj рассматривать как возмущение. Ясно, что если L расходится, то нельзя
сформулировать теорию возмущений в обычном смысле, поскольку она покоится
на допущении, что состояние без частиц невозмущенной системы
соответствует состоянию без частиц для возмущенной системы (в этой связи
см. также [805]).
Вернемся к теории с гамильтойианом (12.1) и исследуем некоторые из ее
предсказаний. Рассмотрим сначала рассеяние мезона на нуклоне. Для этого
найдем собственный вектор состояния |к; р)+ гамильтониана Я с собственным
значением m-fw(k), который описывает мезон с импульсом к, нуклон с
импульсом р и рассеяние их друг на друге. Напишем, таким образом,
|к, р)+ = ^|Чг(1>(р)) + |)с>+, (12.37)
где ак|Чг(1)(р)) описывает мезон с импульсом к, падающий на физический
нуклон с импульсом р, а |х)+ соответствует рассеянной воцне. Требование,
чтобы |к, р)+ было собственным состоянием Я
Я|к, p)t = (m + w(k))|k, р)+, (12.38)
означает, что я К|т(1)(р)> + |х>+) =
= К Я + [Я, аП) | т(1> (р)) + Я |х)+ =
= ак (то -f со (к)) | Та) (р)} -f
+W* 5 7Ц5 <р'+к> ч> (р'> I ^ <р»+" I =
= (то + со (к)) (а*к | (р)> + | Х>+). (12.39)
Следовательно, |х)+ удовлетворяет уравнению (то-f со (к) — Я) | Х)+ =
=5i,p' тйк ч1*(р'+к) *(р,) 1 ^(р»=
= 1 '?°> (р+к)>' (12'40)
Последняя строка в уравнении (12.40) была получена благодаря
использованию явного выражения для | Т41’ (р)} [равенство (12.21а)]. Из
(12.40) имеем
IV) = _______^___________-_____ZiML I лр(1) (р к) \ =
т+сок-Я+ге (2jtf/2
- 1-------* ПЩ |Тш(р + к)), (12.41)
“k + i8 (2л)3/г Y2о)к
где добавка -f ге должна гарантировать, что | х)+ содержит лишь
расходящиеся волны. Однако нетрудно заметить, что знаменатель в (12.41)
не ведет к особенности, поскольку сок всегда больше нуля. Поэтому нет
расходящихся волн и в действительности нет рассеяния. Это можно также
увидеть, если заметить, что | к, р)_, собственное состояние Я,
удовлетворяющее граничному условию для аут-решений волн, равно
§ 1. Скалярное поле
335
j к, р)„ [поскольку добавки ±te в (12.41) несущественны], так что
| k. P)i = ai | (р)> + ^ I, а, (р +1)). (12.42,
Рассмотрим это более подробно. Элемент Д-матрицы для рассеяния из
•остояния к, р в состояние к', р' есть
_(р\ к' | р, к)+ = (Ч^п (р') | ak^ak | Чг<1) (р)) +
Х / (к2): (Т(1) (р') | ак.1 ?(1> (р + к)) +
(2я)3/г у 2 со2
Л*тт==- (т<1) (р' + к') I «г IТ<1 ;(р)) +
(2я) 12 У2(?,1,
— f (И f (к'2) - (?ш (р' + к') | (р + к)). (12.43)
(2л)3 у^ щЗщЗ,
Первый член в (12.43), используя перестановочные соотношения для
операторов ак и соотношения ортогональности для «облаченных» нук-лонных
состояний [равенство (12.22)], моЪшо переписать в другом виде:
6‘3> (р - р') б(3> (к - к') + <?а> (р') | а?ак-1 ?н> (р)).
Скалярное произведение в последнем члене равенства (12.43) равно б<3) (р-
рк — р' — к'). Другие члены можно вычислить, если заметить, что
[Н, ак-] | (p-f к)) =
- ( - -<5И *01 '1'"'(Р+к>>-
= Нак. | Тн> (р + к)) - так’ | (р + к)). (12.44)
Используя опять выражение (12.21), равенство (12.44) можно переписать по-
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed