Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
интегрирований. Мы относимся к этой процедуре, как к удобному
математическому приему, позволяющему нам работать с ненормируемьши
состояниями, которые описывают плоские волны. Этот обеспечивающий
сходимость множитель устраняет также неоднозначность, связанную с
порядком перехода к пределам t—-> ± со, н приводит к усреднению по п\
способам перехода к пределу.
Смысл введения множителя а становится яснее, если рассмотреть член
второго порядка в разложении Л’-матрпцы (11.148). Матричный элемент
перехода между собственными состояниями j а) и j Ъ) гамильтониана Ни
дается формулой
-;~00 !]
(Ь | Л1(2) | а) = (^ — ^ dti ^ dt2(b\HI(tl)H[(t2)\a). (11.163)
—'X• —СО
Используя определение
Hj (t) = (11.164)
где //js — оператор в картине Шредннгера, и вводя полную систему
собственных состояний 7/0 между Hj(ti) и HI(t2), получаем
-4-00 fj
(&US'<2Ma)=(--4V^ J dti J dt2X
11 —00 —CO
X | His I n) (n ( His | a). (11.165)
Если i а) есть состояние плоской волны, то интеграл по t2 на нижнем
пределе расходится. Для состояния волнового пакета |Ф;)= ^ daca\a)7
da I са j2 < со, и вклад от нижнего предела t2 = — со, согласно лемме
5
Римана — Лебега, равен нулю. Равным образом, после замены Hj(t) на Hj (t)
ехр ( — а | f |) мы получим
(b\Sw\a)= - 2jti6 (Еа - Еь) У, . (11.166)
Ла Лп~\ ia
и
Можно показать, что вообще при Ъ Ф а
(b\S\a)=- 2тЬ (Еа - Еь) {<Ь j HIS I a) +2 +
71
1 v (6 j tfjs I n\> (ni i Лis i • • • (nf I His i д) 1
~| /ЛЛ а (^7Я\
Z (Ea-Eni+iaj (?„—/:«,+ ia) ... (Ea-Enf + ia) ~r ' * 7 ’ a>
ПХ • no. ... 71 j
что является хорошо знакомым результатом «старинной» теории возму-щений.
Равенство (11.167а) может быть также записано следующим образом:
(Ь | S | а) = — 2т6 (Еа — Еь) |.(Ь ! #rs -f Нis _(_-.а ИIS 4- . . . |
a)| =
= - 2я?б (Еа - Еь,) Rba, (11.1676)
т. е. получено соотношение (11.86) для случая Ъ Ф а.
§ 6. U-матрица
325
Мы снова напомним читателю, что намеченный только что в общих чертах
формализм не может непосредственно применяться в случае квантовой теории
поля, поскольку в этом случае взаимодействие Я/ приводит также к сдвигам
уровней, а именно, невозмущенный энергетический уровень Еа под влиянием
Hi переходит в уровень Яа~гЛЯа (причем АЕа часто бывает бесконечным!).
Применение разложения (11.159) в этом случае будет детально обсуждаться в
гл. 12.
В качестве введения в формальную методику, применимую, когда Hi
ответственно и за смещение уровней, выведем сейчас полезное соотношение
между невозмущенными и возмущенными собственными состояниями из
дискретного спектра [301, 755]; для простоты мы предположим, что они не
вырождены. Пусть | р0) является собственным состоянием Я0 с собственным
значением е
Я0|ро> = е|ро>, (11.168)
и пусть Р)— собственное состояние Я = Я0-г^Я/(0) с собственным значением
Е
- Я|р) = Я|р>, (11.169)
причем мы явно выразили зависимость гамильтониана взаимодействия
от константы связи X. Предполагая
lim|p) = |po>, (11.170)
Я,-? о
lim Я = 8, (11.171)
Я,-> о
мы покажем, что
| р> = lim -х (11.172)
а_>о <Ро I (0, -b °°)1 Ро>
и что ЛЯ дается выражением
i/a ihal-^r <Ро I Ua (со, — оо)| р0>
ЛЯ = Я-8 = Шп . . (11.173)
а->0 'Р0 I ^ ос. 1 ро>
В равенствах (11.172) и (11.173) Va — это «адиабатическая» матрица Я,
которая удовлетворяет дифференциальному уравнению
idtUa (t, t0) = А,е-<4*1 Hi (t) Ua(t, t0) (11.174)
a > 0.
Доказательство: Введем обозначение
Яа (0, — со)| р0) = | р0; а). (11.175)
В силу соотношений (11.168) и (11.175)
[Я0, Яа (0, — со)]|р0) = Я0|р0; а) —е|р0; а). (11.176)
С другой стороны,
о о
[Яо, Яа (0, — оо)]=^Яо,2 § dti ? • • ^ Япе«(<1+<2+-•?+'<.) х
п —со —оо
х Г (-т)”^ГР^ W • ' ' ЯПбг)) ] -
со 0 0
= ( —т)П^Г S dtl ••• S й*пеа<яи»+..-Ип>х
п=0 —со —со
п
х2 ~P{Hi(h) ... Hj(tn)) (11.177)
l=\
326
Гл. 11. формальная теория рассеяния
вследствие того, что в картине Дирака Н0 является оператором сдвига до
времени, и для любого оператора F (t) в этой картине имеет место
соотношение
f [Яо, F(t)]=^. (11.178)
Так как подынтегральное выражение в (11.177) симметрично, то
П
2 dt. = ndtl и можно записать равенство (11.177) следующим образом:
i=l
О о
X
(И—I); ,) .1
п=1
(На — в)| р0; а) = | ?— 2 dtt . .. \ dtn
п=1 —со —со
Xe^h+h+...+tn)A_p(Hl{tl) ... #,(*„))} | р0) =
оо ООО
={-2 \dt' I dt* ? • • Idt*x
71=1 —CO —CO —oo
x [ lk(ea(il+'2+' ? ?+tn) p {HI {h) • • • HI {tn))) -
_aea(il+i2+... +tn) p {Hl {ti) _Hl w)'j | | po) =
= -^j(0)[/a(0, — co)| p0) 4- iab'k -J|- Ua (0, -oo)|p0), (11.179)
где второй член в правой части получен в - предположении, что Н (0)
линейно зависит от К : Н = Н0 + XHi (0). Таким образом, мы показали, что
(Ho + IH^Q) — е)|р„; a) = tftcd-^ | р0; а). (11.180)
Аналогично доказывается соотношение
(Н — е) Uа (0, + со)| р0) = —iha-^- Ua (0, + со)|р0). (11.181)
Скалярно умножая соотношение (11.180) на (Р| и используя равенство
<Р|Я — Е(Р|, получаем, что сдвиг уровня дается формулой
—оо) | р0>
АЕ — Е — & — ihak —7-,,%-^---------чпгг- • (11.182)
<Р 1 ^а(0, —СО)) р0>
