Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
столкновения, испускания и поглощения частиц (что позволяет вычислить
эффективное сечение таких процессов).
Чтобы поставить во главу угла в новой теории эффективные сечения
процессов и другие наблюдаемые (которые могут быть вычислены при наличии
гамильтониана), Гейзенберг вводит некоторую унитарную матрицу S и
выражает надежду, что с помощью этой ^-матрицы можно будет находить
вероятности переходов и наблюдаемые свойства связанных состояний. В его
исходной статье ^-матрица определяется как оператор, преобразующий
начальное состояние в конечное. Гейзенберг полагает, что в будущей теории
S-матрица возьмет на себя ту роль, которую сейчас играет гамильтониан.
Теория ^-матрицы Гейзенберга получила дальнейшее развитие в работах
Мёллера [560, 561], Штюкельберга [748, 749] и особенно Лемана, Симанзика
и Циммермана [493], которые дали наиболее сжатую и четкую ее формулировку
в рамках релятивистской квантовой теории поля. Мы вернемся к их работе в
гл. 18.
310
Гл. 11. Формальная теория рассеяния
Связь S-матрицы с обычной формой квантовой теории и ее использование при
вычислении эффективных сечений и других наблюдаемых обсуждалась во многих
статьях, особенно в работе Лаппмана и Швингера [508]. Превосходный обзор
применений S-матрицы к теории рассеяния был дан Гелл-Манном и
Голдбергером [302] и Бренигом и Хаагом [85].
Чтобы получить различные выражения для амплитуды рассеяния S(,a, докажем
сначала следующую теорему:
lim U (0, t0) | фа> = | фа), (11.62)
10-+ —00
т. е. докажем, что при действии оператора U (0, — оо) на собственное
состояние | сра) гамильтониана Н0 оно переходит в состояние [ ф;)),
кото-
рое является собственным состоянием полного гамильтониана Ц. При
доказательстве (см. 1353]) будет использовано состояние волнового пакета
|Фг>= ^ rfa I фа) <фа | (11.63)
где коэффициенты разложения существенно отличны от нуля для состояний,
близких к некоторому состоянию а. Сначала получим выражение для и (0, t0)
| Фг):
U {0, t0) \ Ф;) = eiHt»e~iH°to | фг) =
= егШ° jj dae~lEat° | <pa) (фа | Фг), (11.64)
в котором можно легко переходить к пределу — оо. Чтобы найти
результат действия оператора exp (iHt0) на вектор состояния |
qpa) в (11.64),
разложим | фа) по полной системе {] ф?)} + {| фр)}:
[ фа> = \ rfc j ф+> <Ф? I фа> -1- 2 | Фр> (фр I фа> (11.65)
tJ
3
[ср. последовательность рассуждений, которые привели к формуле (11.21)].
Тогда
U (0, to) | Ф;) = ^dc J daei{Ec~Ea)tо (фа | фг) (ф+ | фа) | ф+) +
+ 2 ^ <фа | фг> <тГр [ фа>! Фз>- (11-66)
Р
Согласно уравнению (11.41),
(фс | фа) = 5 (с - а) + lim - I Г ^ . (11.67)
е-*-0+ лс — —18
Подставляя это выражение для (i|?|<pa) в (11.66), находим и (0, to) | Ф;>
= ^ da <ф01 Ф;) ф?) +
о С С
+ lim ^ da (фа | Фг) ^ dc0 dEc (ф? | V | фа) | ф+)
+
+ 2 J dael(E&~E°-)t0 (фа | Фг) (фр | фа) | фр). (11.68)
Р
При этом предположено, что энергия Ес во втором члене правой части
соотношения (11.68) принадлежит полному набору наблюдаемых с, т. е.
§ 3. Картина Дирака
311
с = {Ес, <^о} и ^ dc = ^ dEc dc0. В последний член соотношения (11.68)
можно подставить вместо (фр | фа) выражение
= (И.69)
поскольку
(фр I V | фа) = (фр I Н — Но | Фа) = (-Ер — Еа) (фр I фа) (11.70)
и, по предположению, Е$ — ЕафО. Теперь нас интересует предел
U (0, i0)|CD;), когда t0 стремится к —со. Покажем, что в этом пределе
второй п третий члены равны нулю. Эвристическое доказательство этого
утверждения заключается в следующем: запишем
HE -Е )t0 <?
т е т НЕ -Е —ie)to- \ г(Е-Е„-ге)Е j.t
lim -г,--f г-= lime с а i \ е с а dt =
8—>0 + г8 8-^0+ J
— СО
0 to
= г J ei(Ec-Ea-i8)(t0+odi' = i J ei{Ec-Ea-iR)x dx, (11.71)
откуда
i(Ec-Ea)to
lim E _is-=0, (11.72a)
?0—> — со с 11 a lb
поэтому второй член в правой части равенства (11.68) исчезает в пределе t
—>— со. Между прочим, из равенства (11.71) можно также заключить, что
+
HEC-Ea)tо
lim 4 й — = 2лг6 (Ес — Еа). (11.726)
t о—?-{-со 18
Этот результат можно получить более строгим способом, заменяя переменную
Ес на х = (Еа — Ес) t0. В пределе <0—>— со интегрирование по х проводится
в пределах от — со до + со, поскольку Ес может быть как больше, так и
меньше Еа. Тогда интегрирование по х может быть проведено путем замыкания
контура интегрирования в нижней половине комплексной х-плоскости. При
этом интеграл равен нулю, так как единственный полюс подынтегрального
выражения лежит в верхней полуплоскости (см., например, [353]). Заметим
далее, что при подстановке выражения (11.69) в равенство (11.68)
знаменатель третьего члена этого равенства нигде не обращается в нуль,
так как спектр Е$ не перекрывается с непрерывным спектром. Поэтому,
согласно лемме Римана — Лебега, третий член равенства (11.69) в пределе
t0—>—со равен нулю. Таким образом,
lim U (0, г0)|Фг)= ^ da (фа |Фг)1[?) (11.73)
to-*- — СО V
и в пределе плоской волны
lim U (0, Л0) | ф») = | ф?)- (11.74)
— со
Вследствие нормируемости состояния | Ф;) произведения (фа | Ф;)
являются
хорошими функциями от а, что, как следует отметить, было сущест-
