Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 135

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 373 >> Следующая

т. е. г=(0, 0, г), причем
Ъ к
z=—z0-\--—-?= — Zq + Щ. (11.26)
т
Таким образом, Т0 (г, t) соответствует той части Т (г, t), которая
описывает прошедший (нерассеянный) пакет; Трасс. имеет максимум, если
Тк^-к.г0-^<+Ф+ + /сг)|к=ко = 0, (11.27а)
т. е. если
Пка
к=к0=°- (11-27б) В пренебрежении малой величиной Ткф+,
\z()\-irvt. (11.28)
Отсюда следует, что Трасс. (п t) представляет рассеянную волну. Уравнение
(11.27) соблюдается только при t > | z0\jv, так как г положительно.
Поэтому рассеянная волна Трасс. становится отличной от нуля только после
достижения первичным волновым пакетом рассеивающего центра, т. е. только
после того, как пройдет время |z0|/n. Это может быть принято в качестве
нерелятивистского принципа причинности. Таким образом, в дополнение к
распространяющемуся вдоль оси z пакету, при t > | z0 \/v, имеется
расходящаяся из начала сферическая волна, амплитуда которой /к+ (0, ф)
является функцией направления. При t > | z0|/y вероятность найти частицу,
летящую в направлении, отличном от начального, в объеме 'd3r вблизи точки
г в момент времени t дается формулой
С A (hr —iEkt/H)
l1?расе, (г, *) |г d3/-= d3/-1 ^ Ф(к — ко) e-ik'ro/k+(0, ф) d3k |2.
(11.29)
304
Гл. 11. Формальная теория рассеяния
Если предположить, что в интервале Дк вблизи к0, в котором в основном
сосредоточена Ф, функция /к+ не изменяется слишком быстро с изменением к,
то можно записать1)
Ukr-Ekt/h)
l^pacc. (г, О|2^3г = |/ко+(0,ф)|2-[ ^ Ф (к —к0) e~ik-r°— d3k | .
(11.30)
Поэтому вероятность рассеяния частицы в элемент телесного угла dQ в
направлении 0, ф дается формулой
°° о 4hr~Ekt/h)
PQdQ = dQ | /ко+ (0, ф) |2 ^ dr | ^ Ф (к — k0) e-ik'ro d3k\ . (11.31)
о
Наконец, поскольку интеграл по к отличен от нуля только для больших
положительных г, то можно, не внося ошибки, распространить интегрирование
по 7- от — оо до -j-оо. Дифференциальное эффективное сечение рассеяния da
определяется как отношение вероятности рассеяния в единичный телесный
угол к вероятности того, что первоначально частица находилась в цилиндре
с единичным (1 см2) эффективным сечением и с осью вдоль направления
первичного пучка, т. е.
P0dQ
do(0, ф)= , (11.32)
То
-где
+ СО
po = -j-^dxdy \ dz|'F(r, 0)|2 =
Л —со
Д-со
= 1*
—со
причем мы предположили, что первичный пучок обладает симметрией
относительно вращений вокруг оси z. Теперь покажем, что интегралы в
выражениях (11.31) и (11.33) совпадают, так что
da(Q, ф) = |/ко+(0, Ф)|2<Ш. (11.34)
Доказательство: Запишем Ек, стоящее в показателе степени в формуле
(11.31), в виде
T-|^' = i'i(t-k,)!-k;+2k.k„i. (11.35)
Так как (к — к0)2—(Дк)2 и t — \z0\/v, то первый член по порядку величины
равен Tit (Дк)2/2ш — (Дк)2 ] z0 |//с0, т. е. значительно меньше единицы.
Это соответствует требованию, чтобы пакет не слишком сильно расплывался;
в противном случае нельзя было бы отличить расплывание пакета от
истинного рассеяния. Условие не слишком быстрого расплывания пакета имеет
вид б(Дг)/Дг < 1, где б(Дт) — h(IAk)t/m, или
МДЛИ = (Л*)_21 z | € j. (И.36)
тАг 1(о
0 Обсуждение случая, когда это предположение неправильно (резонансное
рассеяние), можно найти в превосходном обзоре Бренига и Хаага [85]. Мы
очень рекомендуем эту статью в качестве введения в более строгую
формулировку формальной теории рассеяния. Она содержит также изложение
теории резонансного рассеяния и обсуждение аналитических свойств амплитуд
рассеяния.
\ Bkeihzd3k \
(11.33)
§ 2. Уравнения Липпмана — Швингера
305
Поэтому мы пренебрегаем членом ехр [i% (к — ко)2?/2тга]. Член ехр
(ihklt/2m) является фазовым множителем и выпадает при переходе к квадрату
абсолютной величины. Кроме того, свойства Вk позволяют нам записать под
знаком интеграла
gik.k0Wm= giVf ^ eihvt^ (11.37)
так что
+ СО
PadQ, = dQ, ^ dr | ^ Bkeih[r~vt)d3k |2 | /ко+(0, ср) |2. (11.38)
— ОО
Заменой переменных r' = r — vt завершается доказательство нашего
утверждения. Поскольку Вк имеет максимальную величину при к, лежащих
вблизи к0, и вектор к0 направлен по оси z, то замена к на kz допустима.
Важным результатом настоящего параграфа является метод вычисления
дифференциального сечения, в котором используются не зависящие от времени
волновые функции: амплитуда /к+ (0, <р) однозначно определяется из
дифференциального уравнения (11.4) и граничного условия, что
асимптотическое выражение для решения содержит только расходящиеся
сферические волны.
§ 2. Уравнения Липпмана — Швингера
Выразим наш предыдущий результат в более общем виде. При внимательном
анализе содержания § 1 выясняется, что была предположена возможность
разбиения гамильтониана на две части: Я = Я0 -)- V. Первое из слагаемых,
Н0, описывает невозмущенное движение частиц, а V — взаимодействие между
ними, причем предполагается, что V исчезает, когда частицы находятся
достаточно далеко друг от друга. Поэтому последующие результаты нельзя
непосредственно применять к моделям теорий поля, в которых V ответственно
не только за взаимодействие между частицами, но и за само действие,
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed