Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
;=i j=i
Полезно ввести 4 X 4-матрицу Зг, связанную с матрицами аг и Ys
соотношением
2г = гу5а<- (10.150)
296
Гл. 10. Взаимодействие между полями
Тогда выражение (10.148) может быть переписано в виде
Т/2= ^ й3:гф* (х) «• pip (х) — jj d3xty* (х) 2- (х). (10.151)
Наконец, мы должны вычислить
#3 = eiSy^ d3x {я2 (х) + Vtp (х) -j- ц2ф2 (х)} e~iS. (10.152)
Для этого предположим, следуя Дайсону [192], что неизвестная функция w
(ф) имеет вид
ш(ф) = Хф(х), (10.153)
где X — постоянная, которую следует найти. Так как операторы ф (х) и ф
(х') коммутируют, то нам нужно вычислить только величину
eiSn (х) e~iS = я' (х). (10.154)
Используя соотношение (10.142), получаем
я' (х) = я (х) + ^ d3x' [ф* (х') гу5ф (х') ф (х') я (х)].
(10.155)
Все высшие члены (повторные коммутаторы) равны нулю, так как ком-
мутатор операторов ф (х) и я (х') является с-числом:
[ф(х), я (х')] = г6(3> (х — х'). (10.156)
Отсюда
я' (х) = я(х) — гЦ)* (х) у5ф(х), (10.157)
и формула (10.152) превратится в
Hl = т 5 d*x ^п'2 ^ + V(p- V(p (х) + nV (х)} =
= у ^ dsx (я2 (х) + Уф. Уф (х) ж Ц2ф2 (х)) —
—iX jj й3:гф* (х) у5ф (х) я (х) — у X2 ^ jj d3xty* (х) у5ф (х) ^2.
(10.158)
Собирая все эти члены, мы получаем следующее выражение для
преобразованного гамильтониана:
Н' = ^ ^За:ф* (х) (а-р + рМ) ф (х) +
+ yjj d3x {я2 (х) + Уф • Уф (х) + ц2ф2(х)} +
+ ^ й32гф* (х) (e2ts — 1) (ЗМф (х) + ^ й3жф* (х) e2ts СРу5ф (х) ф (х) —
?— X ^ й3жф* (х) 2 • Уф (х) ф (х) — iX ^ й3хф* (х) у5ф (х) я (х) —
— у X2 #гф* (х) у5ф (х))2 , (10.159)
Хотя формула (10.159) является точной, мы не можем подобрать постоянную
так, чтобы полностью исключить псевдоскалярную связь. Это обусловлено
тем, что мы сделали предположение (10.153). Бергер, Фолди и Осборн [44]
применили метод, в котором функция w остается произвольной до самого
конца вычислений. Затем функция w опреде-
§ 7. Теорема эквивалентности
297
ляотся таким образом, чтобы преобразованный гамильтониан не содержал
псевдоскалярной связи.
Если в выражении (10.159) разложить в ряд экспоненциальные множители,
сохранить квадратичные по ф члены и выбрать
-Ь = -2Ж-’ (10.160)
то в этом порядке псевдоскалярная связь будет устранена и прообразованный
лагранжиан приобретет вид
Н' = HN + Нм + H'i, (10.161а)
где
Щ = ~^Т ^ d3x\]>* (х) (2 • (х) + гу5я (х)) ф (х) +
+ ТЛГ \ й3^*(х)Жх)ф2(х)-^у( jj d3x\J>*(x) Y5^(x))2. (10.1616)
Теперь мы кратко проанализируем модифицированный гамильтониан (10.161).
Первый член в выражении (10.1616) имеет вид обычной связи с производными
в мезон-нуклонном гамильтониане. Напомним, что оператор я(х) равен, по
существу, <94ф(х), так что в этом члене взаимодействия подынтегральное
выражение с точностью до постоянного множителя равно
“ Ф (х) у5УиФ (х) д^ф, (10.162)
Г
что является общепринятым выраженном для записи псевдовекторного
взаимодействия. Мы показали, таким образом, эквивалентность
псевдо-
скалярной и псевдовекторной связей в первом порядке по константе связи.
Константа связи взаимодействия с производными связана с константой связи
G соотношением
F G ц 2М
«Двухмезонный» член
-щ- J (х) ф2 (х)
аналогичен квадратичному члену (е2/2нг)А2, который встречается в
нерелятивистской теории излучения. Он появляется при исключении
переходов, связанных с виртуальными парами. В теории возмущений этот член
приводит к большому не зависящему от спина вкладу в ядерные силы [496].
Его значение при любых вычислениях рассеяния мезона на нуклоне было
подчеркнуто впервые в работе Дрелла и Хенли [183], которые показали, что
этот член дает сильное отталкивание в А-волне взаимодействия мезонов с
нуклонами. Можно сделать вывод о его важности уже из того; что член с
псевдовекторной связью пропорционален величине F /ц, тогда как член с ф2
пропорционален величине М (F /ц)2.
Наконец, в гамильтониане для связи с производными всегда присутствует
контактный член й3л;ф*у5ф (х)^ . Если лагранжиан содержит
связь с производными (10.162), то сопряженный полю ф импульс будет равен
(10.163)
(10.164)
298
Гл. 10. Взаимодействие между полями
Тогда при исключении ср из гамильтониана возникнет контактный член
^<23.n|;*Y5tKx)y.
Наиболее ясно эквивалентность псевдоскалярной и псевдовекторной связей
может быть установлена с помощью преобразования Фолди (см. [267, 837,
44]), в котором оператор S имеет вид
S = y ^ d3xty* (х) у5т|) (х) arctg ( G^X) ) • (10.166)
При этом каноническом преобразовании полностью устраняется
псевдоскалярная связь, но псевдовекторная связь появляется в нелинейном
виде.
Наиболее общие теоремы эквивалентности были установлены Молдауе-ром и
Кейсом [559], которые показали, что в первом порядке по константе связи
все возможные линейные взаимодействия между скалярными (или
псевдоскалярными) мезонами и нуклонами либо исчезают, либо эквивалентны
скалярному (или псевдоскалярному) взаимодействию.
Теоремы эквивалентности при наличии электромагнитного поля были доказаны
Кейсом [111] и Дреллом и Хенли [183]. Келли [437] предложил исключительно
