Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
изящный метод вывода теорем эквивалентности, в котором используется
возможность добавки К лагранжиану и 4-дивергенции произвольного 4-
вектора.
ГЛАВА 11
Формальная теория рассеяния
До сих пор рассматривались вопросы формального характера: была описана
методика квантования полей на основе канонического формализма. Это
позволило представить вторично-квантованную теорию в такой форме, в
которой по аналогии с обычной квантовой механикой развитие системы
описывается уравнением Шредингера:
Теперь нужно научиться извлекать физические следствия из
вторичноквантованной теории. С этой целью мы будем исследовать решаемые
'модели (см. гл. 12) и рассматривать применения теории возмущений к
вторично-квантованным теориям поля (см. гл. 13 и 14).
Всем вторично-квантованным теориям поля присуще то общее свойство, что в
результате взаимодействия (описываемого гамильтонианом Hr) вокруг каждого
кванта невозмущенных полей (описываемых гамильтонианом Н0) возникает
облако других квантов. В пределе точечного (локального) взаимодействия
этот эффект приводит к расходимостям. Программа перенормировок позволяет
обойти эти трудности. Было замечено, что взаимодействие приводит к
изменению констант связи и масс квантов и что поэтому затравочные
константы связи и массы не могут быть отождествлены с соответствующими
измеряемыми величинами. Большим успехом теории перенормировки явилось то,
что переопределение константы связи и массы в квантовой электродинамике
оказалось достаточным, чтобы обойти все трудности с расходимостями,
возникающими в амплитудах рассеяния и рождения частиц (т. е. в элементах
А-матрицы). Можно сказать, что современные теории поля дают
полуколичественное (а электродинамика и количественное) описание
процессов с элементарными частицами, но проливают мало света на проблему
структуры этих частиц. Например, мы не в состоянии объяснить наблюдаемый
спектр масс элементарных частиц.
В этой главе будут вкратце описаны те стороны формальной теории
рассеяния, которые нам понадобятся в дальнейшем. Мы также введем картину
Дирака (ее часто называют представлением взаимодействия) и рассмотрим
некоторые степенные разложения оператора сдвига по времени в этой
картине.
H\W) = ihdt\^), Н = Н0 + НТ.
(11.1а)
(11.16)
300
Гл. 11. Формальная теория рассеяния
§ 1. Потенциальное рассеяние
Сначала в качестве простейшего примера теории рассеяния рассмотрим
рассеяние бесспиновой нерелятивистской частицы на потенциале конечного
радиуса. Нас интересует описание такого процесса, когда направленный
пучок частиц с определенной энергией падает на мишень и рассеивается ею.
(Интенсивность пучка предполагается такой, что взаимодействием налетающих
частиц между собой можно пренебречь.) Нам нужно найти функциональную
зависимость интенсивности рассеянного пучка от его направления в
предположении, что известны интенсивность падающего пучка и потенциал
взаимодействия между налетающей частицей и мишенью. Мы будем
рассматривать рассеяние одиночной частицы из пучка.
Квантовомеханическое описание процесса проводится следующим образом
[218]. В момент времени t = 0 имеется волновой пакет, сосредоточенный
вблизи точки г0 = (0, 0, — z0) с пространственной дисперсией Ах, Ay, Az и
движущийся направо в направлении оси z со средним импульсом р0 = ftk0 (с
дисперсией Акх, Аку, Akz, причем AktAxi як 1). Чтобы частица имела
определенную с разумной точностью энергию, потребуем выполнения условия
Akz<t к0. Расположение в пространстве должно быть таким, чтобы в момент
времени t = 0 процесс рассеяния еще не начинался, т. е. чтобы между
налетающей частицей и мишенью не было взаимодей-. ствия (источник
налетающих частиц должен находиться далеко от мишени!). Поэтому потребуем
выполнения условий Az < \z0 | и I z01 где a — радиус действия потенциала.
Чтобы можно было отличить рассеянный пучок от пучка, прошедшего без
взаимодействия, интерференция между рассеянной и начальной волнами должна
быть минимальной. Эта сторона приготовления начального состояния
выражается требованием Ах, Ау < | z0 | . Обычно оказывается,
что Да:, Ду, Az а.
Таким образом, в момент времени 1 = 0 наша частица описывается
волновой функцией
? (г, 0) = ^ е1к'(г~го)ф (k — к0) dsk, (И-2)
где Ф — квадратично интегрируемая функция, имеющая резкий максимум при k
= k0 с дисперсией Akt. Рассмотрим затем развитие этого пакета во времени.
В некоторый более поздний момент времени t > 0 имеем
ЧДг, t) = е~шЮф (г, 0), (11.3а)
H=-^~V* + V(r), (11.36)
где Н — гамильтониан системы. Для расчетов с этим выражением введем
вспомогательные функции фк+(г), являющиеся решениями уравнения
? ^ + К(г)}фк+(г) = ?кфк+(г), (11.4а)
Кк = ^ (11.46)
и имеющие следующее асимптотическое поведение:
гкт
lim фк+ (г) ~ eik-r~l—— /к+ (0, ср). (11.5)
Существование решений с этим предписанным асимптотическим поведением
следует из нашего предположения, что V (г) убывает быстрее 1/г.
§ 1. Потенциальное рассеяние
301
Поэтому при больших г, фк+ с точностью до членов первого порядка по 1/7-
