Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
уравнением (11.77), решения которого описывают рассеяние.
§ 5. В-матрица
Кроме ин- и аут-решений |ф„), можно определить решения |фа),
соответствующие стоячей волне, которые удовлетворяют уравнению
|^> = |фа> + Р7—'-5-У|^>, (11.119)
& а п о
где символ Р означает главное значение. Введем затем операторы В(±> и К:
7?ьа> = (фь, В(±)фа) = (фь, Гф±) ('11.120)
И
#Ьа = (фЬ, #фа)=(фь, Уфа)- (11.121)
Заметим, что ранее мы обозначили R\? через Rba. Определим также
волновой оператор 0(1), соответствующий решениям |фа), соотношением
|фга)=Ош|фа). (11.122)
Таким образом, оператор Q(1) при действии на неоднородный член уравнения
(11.119) переводит его в решение этого уравнения. С учетом формального
соотношения
2 . = Р — + in б (х)
Х± IE X ' ' '
из уравнений Липпмана — Швингера следует, что
!Ф^) = !фа) + Р ^zr,rv\^a) =F (Ea-H0)V |ф±).
^ a J1 о
Используя полноту системы состояний |фа), находим
v! ф±) = 2! фь> (фь | v ] ф±> = 2 I фь),
ь ъ
так что уравнение (11.124) может быть записано в виде |Ф?) = {|фа) Ф1 ^2
&(Еа-Еъ) Дьа} [фЬ^+Рд-^Д7!^)-
Ь “
Уравнение (11.126) имеет тот же вид, что и (11.119), исключая
неоднородный член в скобках. Учитывая, что оператор 12(1)
действует как
функция Грина интегрального уравнения (11.119), можно записать
! Ф±) = ЙШ ||фо) Ь(Еа — ?ь)7?Ьа)|фь)} =
ь
= |фа) =F m'^i8(Ea-Eb)Ria)\Vb)- (11.127)
b
Подобным же образом можно проверить, что
I Фа) “ | Фа" ) 2 Ь(Еа-Еь)Къа IФ^) • (11.128)
ь
(11.123)
(11.124)
(11.125)
(11.126)
§ б. R-матрица
319
Если скалярно умножить уравнение (11.127) на (фс | V, то мы получим
следующее соотношение между R- и ЕГ-матрицами:
R^^Kba + iK^biEa-EJR^Vbc (11.129)
С
Определим операторы на энергетической поверхности R(±> и К соотношениями
R^) = 2it6(?b-?0)/?^) (11.130)
И
Кьа — 2лб (Еь — Еа) КЬа (11.131)
(матрицу К называют матрицей реактанса, а матрицу R —матрицей
реакции). На энергетической поверхности уравнение (11.129)
переходит в
R(±) = К + ^ KR(±)' (11.132)
Уравнение (11.132) известно как уравнение Гайтлера. Заметим, что
матрицы 7?(±> и К имеют размерность энергии, a R(±) и
К, как и 5-мат-
рица, безразмерны. Теперь 5-матрица может быть определена соотно-
шением
R<+) = *S'R<—>, (11.133)
или эквивалентно
5=1- iR<+) = (1 + (11.134а)
т. е.
\ 1 «
5 =-----— . (11.1346)
1 + -?к
Из унитарности 5-матрицы следует эрмитовость К-матрицы. Используя
свойство ортогональности системы состояний {ТЧ
(Tf, Т?) = й(с —Ь) (11.135)
и умножая скалярно уравнение (11.128) на |^±), приходим к выводу, что
(Та*. $)=(l± {К)аь. (11.136)
Следовательно, |Та) 11 1Tb1’) взаимно ортогональны, если только состояния
а и Ъ не имеют одну и ту же энергию. Заметим также, что
(Та, Ть) = (Та, Tb). (11.137)
Элементы 5-матрицы даются выражением
(Та, Ть) = (Та, Тб) — ЙТ У, 6 (?а — ЕЪ) Rea’ (Тс, Tb) =
С
= (l-iR<+,)ab==T'ab, (11.138)
что подтверждает результат, полученный в нестационарной теории. Чтобы
найти нормировку решений, соответствующих стоячей волне,
320
Гл. 11. Формальная теория рассеяния
используем равенство (11.136) и полноту системы {ф?+)} -Г{фр}: (^a, Фь) =
2 ^ ^b) + 2 %) (^Р> 'Фь) =
?s(*-iK)„(i+iKV
1 + TK*)^’ (и-ш>
где учтено, что состояния |фа) и |фр) взаимно ортогональны, поскольку они
являются собственными функциями гамильтониана Н, соответствующими
различным собственным значениям (ЕаФ Е$).
§ 6. 77-матрица
Как мы видели, формулировка задачи о рассеянии в картине
Дирака имеет несомненные преимущества, поскольку в этой
картине
матрица рассеяния связана с оператором сдвига во времени U (7, 70)
простым формальным соотношением
S = U (со, — оо). (11.140)
7/-матрица подчиняется интегральному уравнению
t
и (7, 70) = 1 - ? 5 Hj (О и (7\ to) dt\ (11.141)
to
которое эквивалентно дифференциальному уравнению
idtU (t, t0) = Hj(t) U (7, t0) (11.142)
с граничным условием
T7(70, 7„) = 1. (11.143)
Если картины Дирака, Шредингера и Гейзенберга выбраны так, что они
совпадают в момент времени 7 = 0, то матрица U (t, t0) дается формулой
U (7, 7о) = ешо<е—iH(t-<o)e-iH0fo7 (11.144)
которая делает очевидной унитарность U (7, 70) при конечных 7 и 70. В
общем случае может быть определен оператор 77(7, 70; т), где т — момент
времени, в который картина Дирака совпадает с картиной Шредингера. Нам,
однако, не придется пользоваться этим общим определением. Групповое
свойство
U (7l5 72) U (72, 70) = 77 (7t, 70) (11.145)
позволяет выразить конечное преобразование в виде произведения
77 (7, t0) = U (7, 7„) 77 (7„, 7„_t) ... 77 (72, 71) 77 (7ь 70),
(11.146)
где 77 (tj+i, tj) — преобразование от tj к 7^+1. Далее, для случая, когда
интервал между tj и 7J+1 очень мал, интегральное уравнение
§ 6. U-матрица
321
(11.141) может быть приближенно представлено в виде 4+1 _ *j+i
/Д-1- J dt'H^nUit'. tj)^ 1-JL J dt'HI(t’)U {thtj)
*7+1
1-7 ^ dt'Hj (/'). (11.147)
Устремляя число интервалов между /0 и < к бесконечности,
получаем
1 , ( (j
U (t, /0) = 1 -f —уу^) dlJIj (/() -I- -') ^ dti dt2III (tj) Hj (t2) +
