Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
2я
W= -j-Тг
По заданным конечным состояниям
^ db Wba =
;анным
ечным
>яниям
J dEbб (Eb-Ea)\Rba\2Qf (Еъ) =
2я
= I |2 6/ (?ь) |еь=Е(1- (11.94)
Чтобы найти эффективное сечение перехода, нужно снова ее разделить
на поток.
Сохранение вероятности требует, чтобы переходы из состояния а
компенсировались соответствующим убыванием амплитуды состояния а, или,
более точно, чтобы
^dbwba = 0, (11.95)
причем при интегрировании учитывается и состояние Ъ = а.
Д оказателъство:
^ db Wba = lim ^ Й5(фь{ и (t, to) |фа)(фа| и (to, t) I фь> =
t0-> —оо
dt
= lim (фа, U (to, t) V (t, to) фа) = to-* — °°
= lim (фа, Фа) = 0. (11.96)
to-* — CO
Конечно, соотношение (11.95) равносильно требованию сохранения нормы
вектора состояния ^(f)). Подставляя в (11.95) выражение (11.916),
получаем
2Im/?aa= -2я J dbd(Ea-Eb)\Rba\2. (11.97)
В правой части соотношения (11.97) можно пренебречь вкладом от состояния
а. Поэтому Im/?aa пропорционально 2 °аь> т- е- полному
Ьфа
эффективному сечению. Соотношение (11.97) известно под именем оптической
теоремы; оно будет использовано при обсуждении дисперсионных соотношений.
§ 4. Унитарность У-матрицы
Докажем теперь, что ^-матрица унитарна. Мы видели, что
U (0, ± со) | фа) = | ф^), (11-98)
или эквивалентно
t/(o, ± со) = 2|фт>(фа| = й^)> (1199)
а « ,
где мы обозначили оператор U (0, ± со) через Последнюю величину
часто называют волновой матрицей Мёллера [560]. Она преобразует состояние
[ фа), принадлежащее непрерывному спектру свободного гамильтониана Но, Но
| Фа) = Еа [ фа), в принадлежащие непрерывному спектру
316
Гл. 11. Формальная теория рассеяния
полного гамильтониана Н собственные состояния |ф^), Н | ф±) = Еа | ф^).
Этому свойству если заметить, что
Этому свойству можно придать четкую и сжатую
формулировку,
lim U (0, t) = lim е+ш*е~ш«1. (11.100)
t—>^CO t —^ “р СО
Поэтому при каждом конечном t0
einto&^e-iHoto = Q<±>f (11.101)
откуда следует формула, которую мы хотели получить
#Й(±) = Й(±)#0. (11.102)
б’-матрица выражается через й<+) и Q(“’ в виде
S = U (со, —со) = U (со, 0) U (0, —оо) =
= и* (0, со) и (0, - со) =
= Q‘-,*Q‘+). (11.103)
Следует отметить, что волновая матрица не унитарна, так как хотя
а(±)*й(±) = 2|Фа><фа±|ф±><фь| =
аЬ
= 2|фаХфа| = 1, (11-Ю4)
ab
НО
?0(±)Й(±)' = 2'|ф±><фа|фЬХФ±| =
U Ь
= Е|ф?хф^| =i -2|фр><фр| =
а 0
= 1-Л, (11.105)
где Л —оператор проектирования на связанные состояния полного1
гамильтониана Н. Эти результаты означают, что1)
й(±)*|фр) = 0 или Й(±)*Л = 0, (11.106а)
Й(±)*|Ф±> = | Фа>. (11.1066)
Вместе с тем для ^-матрицы мы находим
SS* = [й‘->*й<+)]*й<-’*й<+) =
= Й(+>* (1 - Л) Й(+> = Й<+)* Й<+) =
= 1 (11.107)
и
SS* = Й(+)Й<+)* Й(-> = 1. (11.108)
1) Отметим, что если До имеет также и дискретный спектр, и условие
полноты его собственных состояний есть 2 | <ра) (<ра 1+2 I Фр) <фц | = 1,
то в правой части
а 0
равенства (11.104) появится 1 — Ло, где Ло — оператор проектирования на
пространство, натянутое на собственные состояния дискретного спектра Н0.
§ 4. Унитарность S-матрицы
317
Следовательно, ^-матрица унитарна. В частности, матричный элемент от
равенства (11.108) между состояниями bud равен
%Sbc(S*)cd = b(b-d). (11.109)
С
При подстановке в это равенство выражения (11.86) для ^-матрицы
оказывается, что из унитарности ^-матрицы вытекает уравнение для 7?-
матрицы
Rba-Rba = 2m ^d(Ec-Ea)RbcR*cd (Ea = Eb), (11.110)
о
которое справедливо только при Еа = Еъ. При 6 = а уравнения (11.110) и
(11.97) совпадают.
Чтобы сделать явной связь между унитарностью ^-матрицы и эрми-товостью
гамильтониана Н, и, в частности, взаимодействия V, заметим, что
На = (фь | V | фа) = 2 (фЬ ] V | фс+) (фс | фа) + 2 (фь | V | фр) (фр ]
фа). (11.111)
с Р
Используя равенства (11.67), (11.69) и (11.87), можно переписать
соотношение (11.111) в виде
Па = Rba - ^ EcR~t*~iz + 2 - Е*) <4* i %> <^Р I Ф»>- (11Л12)
с ° “ Р
Аналогично,
V~b = R^b - 2 E~-kb + iB + 2 - Е°) (.% I | %>. (11.113)
С ° ' р _
Если V — эрмитов оператор, V = V*, то Нь = Наг и мы получаем
Яьа- JU - 2 +2(Л-Л) <*? I Ч*>»»I
Р (11.114)
При Еь = Еа уравнение (11.114) сводится к уравнению (11.110). Уравнение
(11.114) приобрело известность как уравнение Jloy [512].
В заключение этого параграфа выпишем интегральное уравнение, определяющее
развитие во времени волновой функции связанного состояния. Прежде всего
заметим, что U (t, 0) удовлетворяет уравнению
idJJ (t, 0) = F (t)U (t, 0), (11.115)
которое может быть преобразовано путем интегрирования к виду
t
U (t, 0) —. П(+>* _ i ^ dt'V (?') U (П 0), (11.116)
— со
поскольку U (— оо, 0)=Q(+)*. Введем вектор состояния |фр(?))> связанный с
вектором связанного состояния | фр) соотношением
I Фз (0) = U (t, 0) j фр). (11.117)
Так как Й(+)*|ф3) = 0 [формула (11.106)],
т0 t I Фр(0) удовлетворяет
однородному интегральному уравнению
t
|фр(<))= - I J dt'V(t’)\%(t')). (11.118)
318
Гл. 11. Формальная теория рассеяния
Уравнение (11.118) следует сопоставить с неоднородным интегральным
