Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 12.2. Пусть F = E(V), т. е. и улучшает аналитичность. Тогда целая функция z н-> Det(l — zu) имеет порядок 0; более точно, существуют такие константы С, D, что
I Det(I — zu) ^ exp (с + D (log+ N)d+1^ •
Cm. Фрид [2], лемма 6.
204
Глава 8
Пример 12.3. Пусть ф: V^U — голоморфное отображение и <pGE(V). Определим оператор, действующий на интегрируемые в квадрате голоморфные Z-формы на V равенством ^
(?Ф)(г) =?>(*)• (Д(Тг») (Ф°#)),
где Т*ф — отображение, сопряженное с касательным отображением Т-0 в точке z. Если множество UdV компактно, то предложение 12.1 и следствие 12.2 применимы к трансфер-оператору С. Более общим образом, эти результаты применимы к линейным комбинациям вида f /л(йи>)Сш, если выполнены естественные условия на <рш, и ц.
Отметим следующие результаты, полезные для приложений.
Лемма 12.4. Пусть V С Cd, V связно и ^V —> U голоморфно, причем UcV компактно. Тогда множество
OO
(\фки
і=і
состоит из единственной точки Z, причем все собственные значения производной ф'2 меньше единицы по модулю.
Cm. Рюэль [8], лемма I (D надо взять открытым, связным и удовлетворяющим условию DdU).
Предложение 12.5. При сделанных выше предположениях и введенных
обозначениях г
tP(Z) tr (/\ф'Л
TrC= __________-_____-.
det (1 - ф'2)
Cm. Рюэль [8], лемма 2.
§ 13. Нефредгольмовы ситуации
Если динамическая система (М, /) и g голоморфны (или вещественно аналитичны) и если / растягивает, то с помощью результатов предыдущего параграфа можно доказать, что С улучшает аналитичность. Следовательно, существует корректно определенный определитель Фредголь-ма Det(l — zL), являющийся целой функцией от z. Это приводит к дзета-функции, мероморфной на всей комплексной плоскости.
Бывают, однако, случаи, когда С не только не имеет конечного следа, но даже не является компактным оператором, и когда, тем не менее, можно доказать, что радиус сходимости формального степенного ряда Det(l — zC)
§13. Нефредгольмовы ситуации
205
нетривиален. В следующей главе мы подробно обсудим один такой пример, изложив предварительно общий подход, который будет сейчас намечен и который доказал свою эффективность в нескольких различных ситуациях.
Прежде всего необходимо определенным образом выбрать банахово пространство В, на котором действует оператор С (гельдеровские, дифференцируемые или функции ограниченной вариации). Затем мы оценим спектральный радиус этого оператора, пользуясь формулой спектральный радиус = Iim [CmW1Zm.
т—»00
Пусть г таково, что существует лишь конечное число собственных значений Л оператора С (каждый из которых имеет конечную кратность) с |Л| > г. Точная нижняя грань этих г есть существенный спектральный радиус и сущ. спектральный радиус = Iim WCJn-EmИ1/™,
т—>оо
если Em — операторы конечного ранга (Нассбаум [1] показал, что при подходящем выборе операторов Em правая часть этого неравенства есть на самом деле существенный спектральный радиус). Если повезет удачно выбрать Em, то можно получить оценку существенного спектрального адреса, которая строго меньше, чем спектральный радиус, и, следовательно, дает нетривиальную спектральную информацию.
Существует принадлежащий Хэйдну [2] трюк, который позволил в некоторых случаях показать, что Det(I — zC) — аналитическая функция переменной z при
\z\ < (сущ. спектральный радиус )-1.
Кроме того, нули функции z —> Det(l — zС) в указанной области — это в точности обратные величины по отношению к собственным значениям оператора С, причем они имеют те же самые кратности (пример рассматривается в следующей главе).
Наконец, в случае, когда веса g положительны, как правило, существует собственное значение Ao оператора С, равное спектральному радиусу, причем
A0 - ехр P(Iogfl), где P — давление, описываемое в следующем параграфе.
Намеченная только что программа была реализована в некотором числе примеров, которые мы теперь кратко опишем.
Вначале заметим, что теория Фредгольма (для улучшающих аналитичность операторов) применима к аналитическим растягивающим отображениям (Рюэль [8], Фрид [2]) и к широкому классу рациональных отображений римановой сферы (Левин, Содин, Юдицкий [1], [2]). Ее можно также
206
Глава 8
применить (пользуясь марковскими разбиениями) к гиперболическим отображениям и потокам, у которых устойчивое и неустойчивое слоения ана-литичны (Рюэль [8], Фрид [2]). Последнее условие, как заметили Py [1] и Фрид, можно ослабить.
При изучении растягивающих и гиперболических динамических систем, являющихся не голоморфными, а только дифференцируемыми или гельдеровскими, естественно воспользоваться марковскими разбиениями (введенными Синаем, Ратнер и Боуэном). Тем самым, исследование исходной динамической системы сводится к символической динамике, т. е. к подсдвигам конечного типа (см. § 2). В связи с этим подходом мы отсылаем читателя к монографии Перри и Полликотта и, в частности, к имеющимся там ссылками на работы Рюэля, Полликотта, Хайдна и др.
Использование символической динамики имеет, однако, и недостатки: оно не носит канонического характера и не учитывает унформации, содержащейся в предположениях дифференцируемости. Этот метод последовательно улучшался в статьях Тэнгермана [1], Рюэля [10, 11] и Фрида [2].
