Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
1 f и g в точках ai,
ajv-i могут принимать по два значения, см. замечание 9.2(2).
§ 2. Построение новых систем
221
Существует счетное множество Y, содержащее {xgX: card 7f_1a; = = 2}, а также все периодические точки разрыва отображения g и такое, что fY CYu каждая точка у С Y является предельной точкой множества X \ Y. Соответственно, если Y = 7Г_1У, то fY CYu каждая точка из Y является предельной для X \ Y.
Отображение Ф ^ Ф о? индуцирует изоморфизм В\у —> B^y банаховых пространств.
Если X — канторово множество, то и X — канторово множество.
Пусть X0, X1, X2 состоят из тех точек множества X, которые соответственно изолированы, служат односторонними пределами точек из X и служат двусторонними пределами точек из X. Точка х С Х2 П Ji не может быть концом интервала Jj и, так как f\Ji — монотонный гомеоморфизм, мы снова получаем fx Є X2- Тем самым, fX2 С X2- Аналогично, fX 1 С Aj U X2 и, разумеется, f'X0 С Xq U Ai U X2-
Пусть S0 = S П A0, S1 = S П Ab S2 = S П A2. Тогда fS0 = S0, fS1 = S1, fS2 = S2.
Положим Z0 = S2 и определим индуктивно Zk равенством
Zk = f~1Z/c-1 \ ({концы интервалов Jj} U Z0).
Чтобы построить X, заменим каждую точку ? Є Z = IJ Zk двумя точками,
fc^o
S- < ?+. Если г/ = fk?, где ? Є Zk и г/ имеет период I, вставим между S- и ?+ пробел длины eak+l (где 0 < а < I/N). Пусть тт: X -^X-стягивающее отображение, Jj = тT^1Ji и / — отображение, однозначно определяемое равенством 7Го/ = /о7ГИ условием, ЧТО /I Jj — монотонный гомеоморфизм множества Jj на некоторый интервал в X.
Положим Y = S1 U Z. Отображение g непрерывно в точках множества So. Поэтому в Y содержатся периодические точки разрыва д\ кроме того, Y содержит {х С X: card7r_1a; = 2} = Z, а так как f'Z С Z, мы приходим к выводу, что fY С Y. Положив Y = Tr^1Y и пользуясь равенством тт о / = / о тт, получим fY С Y.
Покажем теперь, что каждая точка множества Y является предельной для X \ Y. По предположению, каждая точка ? Є 7?-1? U 7?-1? — это предел (односторонний) других точек из X. Индукцией по к это свойство доказывается и для точек S Є Tr^1Zjc (вспомним, что Z0 = S2)- Следовательно, всякая точка ? Є Y = 7f_1(S'i U Z) служит пределом других точек
222
Глава 9
из X. Отсюда, как и при доказательстве предложения 9.1, вытекает, что ? — предельная точка множества X \ Y (в противном случае нашлась бы такая окрестность V точки ?, что V (Л X = V Г\ Y, и можно было бы построить канторово множество К С X, для которого ? Є К С V, что невозможно в силу счетности Y). Отсюда также видно, что каждая точка множества Y является предельной для X \ Y.
При 7?? ф Si U S2 положим д(?) = §(¦7??). Если 7г? Є Si U S2, то ? является односторонним пределом точек г/, принадлежащих X (или даже X \ Y) и мы положим g(?) = Iimд{ттгі) (этот предел существует, поскольку д имеет ограниченную вариацию). Определенная таким образом функция д также имеет ограниченную вариацию, она, кроме того, непрерывна в точках множества Tr^1S и удовлетворяет соотношению д(?) = д(7??), если ??? ф S.
Каждая /-инвариантная вероятностная мера р представима в виде р = = аро + (I — а)рі, где ро (соответственно, pi) — атомическая (соответственно, неатомическая) вероятностная мера. Так как энтропия атомической меры равна нулю, а 7? по отношению к неатомическим мерам является изоморфизмом, справедливы равенства
h(p) = ah(pQ) + (I - а)Крі) =
= (I - a)h(pi) = (I - a)h(npi) =
= а1і(тгро) + (I — а)Ь(тгрі) = Ь(ттр).
Пользуясь тем, что (Ji, ..., Jn) — образующее разбиение и что в слабой топологии энтропия h полунепрерывна сверху8, а отображение тт непрерывно, мы приходим к выводу, что и энтропия h полунепрерывна сверху.
Доказательство того, что Ф і—> Ф о тт определяет изоморфизм В\у —> B\Y’ не представляет труда и по существу аналогично доказательству предложения 9.1.
Наконец, в силу того, что конструкция множества X не приводит к появлению изолированных точек, мы заключаем, что X — канторово множество, если таковым является X.
§3. Функционал 0
Для заданного компактного подмножества X С R и кусочно-монотон-ного отображения /: X —> X определим на множестве функций д ограни-
8Cm. § 9.7.
§ 3. Функционал 0
223
ченной вариации функционал д 0 (аналогичный введенному Хофбауе-ром и Келлером для отображений интервала).
Если х — левая или правая предельная точка множества X, положим соответственно
если / возрастает (соответственно, убывает) справа от х.
Назовем (х, ±) виртуальной периодической точкой, если fm(x, ±) = = (х, ±). Периодической точке х (минимального) периода т можно поставить в соответствие либо виртуальную периодическую точку (минимального) периода 2то, либо не более двух виртуальных периодических точек (минимального) периода т.
Если х Є Fix/™, положим
Если (х, ±) — виртуальная периодическая точка периода п, положим
Для /-инвариантной вероятностной меры р на X определим 0(р) равенством
д{х, -) = Iim д(у),
У Sx
д(х, +) = Iim д(у).
т — 1
Ifm
©О) = \\g{fkx)
k=О
1 /п
Предложение 9.8. Пусть
