Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
В связи с обсуждаемыми здесь проблемами см. статьи Хофбауера [1], Хофбауера и Келлера [1] и Милнора и Тёрстена [1]. Имеется также большая литература по другим аспектам теории отображений интервала.
Основной результат, касающийся дзета-функций, принадлежит Балади и Келлеру [1]. Здесь мы обобщим его, используя новый метод.
§ 1. Определения
Пусть X — упорядоченное топологическое пространство, эквивалентное (с учетом порядка и топологии) компактному подмножеству пространства R. Для простоты будем считать, что X — компактное подмножество М. Важный пример: [0, 1] С К..
Будем говорить, что J — интервал в X, если J = XnI, где I — интервал в R. Если I замкнут, то J — замкнутый интервал в X, т. е. J = 0 или
J = {х Є X: и ^ х ^ v}
для подходящих и, V Є X, и ^ V. Отображение /: J —> X строго монотонно, если оно строго возрастает (х < у => f(x) < f(y)) или строго убывает (х < у =>• f(x) > f{y))- Если, кроме того, /J — интервал в X (т. е. / принимает все промежуточные значения между f(u) и f(v)), мы говорим, что / обладает свойством Дарбу; в частности, / непрерывно и, следовательно, является гомеоморфизмом1.
1 Строго монотонное отображение со свойством Дарбу — это то же самое, что монотонный гомеоморфизм интервала на интервал.
210
Глава 9
Назовем отображение /: X —> X кусочно-монотонным, если X можно так покрыть замкнутыми интервалами Ji, ..., Jn, что /| Jj строго монотонно и обладает свойством Дарбу при г = 1, ..., п (тем самым, / Jj является монотонным гомеоморфизмом интервала Ji на некоторый подинтервал в X). Предположим, что (Ji, ..., Jn) — минимальное покрытие множества X замкнутыми интервалами; это значит, что если (J{, ..., J'N) — другое покрытие и J[ С Ji, ..., J'N С Jn, то (J[, ..., J'N) = (Ji, ..., Jn) (в частности, Jj П Jj содержит не более одной точки; очевидно, разбиение является минимальным покрытием). Предположим также, что все Ji непусты, Ji < J2 < ... < Jn и N > 1.
Если Ji сводится к единственной точке, мы произвольным образом решаем, возрастает / Ji или убывает (это удобно для дальнейшего).
Пусть {61, . . . , hs J — множество общих КОНЦОВ интервалов Ji и J, I I . При х Є {&і, ..., &<,} и х ф {Ъ\, ..., &<,} положим соответственно є(х) = 0 и є (ж) = ±1, выбрав знак «плюс», если / возрастает на интервале Ji э х, и знак «минус» — в противном случае. Множество Per/ = IJ Fix/™
m^l
содержит следующие подмножества:
т — 1
FixiZm = IxeFix/"1: l[?(fkx) = ±l},
fc=o
Рег±(/, то) = {х Є Fixi fm : минимальный период х равен то}.
Назовем х отрицательной (соответственно положительной) периодической точкой, если х Є Рег_(/, то) (соответственно х Є Рег + (/, то)) для некоторого то > 1. Если (Ji, ..., Jn) — разбиение, то каждая периодическая точка либо положительна, либо отрицательна; в общем случае возможно конечное число исключений.
Назовем (Ji, ..., Jn) марковским покрытием для /, если для каждого і образ /Ji есть объединение некоторых Jj. Покрытие (Ji, ..., Jn) называется образующим, если пересечение
OO
П гпМп)
п=О
содержит не более одной точки2.
2Ilo определению, марковское покрытие не обязано быть образующим.
§ 1. Определения
211
Для функции g : X —> С, где card X > 1, положим
Tl
varg = sup][>K) - g{od-1)|, і
где sup берется по всем конечным подмножествам точек из X, упорядоченным так, что ао < а± < ... < ап. Говорят, что g имеет ограниченную вариацию, если varg < оо. Аналогично можно определить var(g|A), где Л — произвольный интервал в X (не обязательно замкнутый).
Функции ограниченной вариации Ф: X —> С образуют банахово пространство с нормой Var, определяемой равенством
П
УагФ = вир^|Ф(ао) + E 1ФЫ - + ФЫ|) ’
1
где sup берется по всем конечным подмножествам точек ао < а± < ... < ап множества X. Заметим, что sup в определении величин var и Var можно заменить пределом по конечным множествам, упорядоченным по включению.
Если X = {а}, мы полагаем varg = 0 и УагФ = 2|Ф(а)|. Из этих определений следует, что норма Var эквивалентна норме || • ||о + var. Действительно,
||Ф||о < I УагФ, var Ф ^ Var Ф,
УагФ < 2 Il Ф j j о + УагФ.
Кроме того,
Уаг(Ф • Ф) ^ К Ф11 о Var Ф + уагФЦФЦо ^ УагФ • УагФ,
и если функция ф строго монотонна и обладает свойством Дарбу, то
Уаг(Ф о ф) = Var Ф.
При YcX обозначим через By подпространство пространства В, состоящее из функций Ф, равных нулю вне Y, и через В\у — фактор-про-странство В/Ву-
212
Глава 9
§ 2. Построение новых систем
Пусть система (X, /, д) состоит из компактного множества XcR, кусочно-монотонного отображения /, минимального покрытия замкнутыми интервалами (Ji, Jn), связанного с /, и функции ограниченной вариации д. По этим данным мы различными способами построим новую систему (X, /, д) и покрытие (Ji, ..., Jn) с улучшенными свойствами: в одном случае (Ji, ..., Jn) будет разбиением, в другом — марковским или образующим покрытием, а функция д будет непрерывна в периодических точках.
Что касается множества X, то оно, вообще говоря, не будет интервалом (не только в R, но даже в X); этим объясняется тот факт, что мы не хотим с самого начала ограничиваться отображениями интервалов.
