Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Нетривиальные результаты аналитического характера были получены также для дзета-функций, связанных с кусочно-монотонными отображениями интервала. Для этих отображений Хофбауэр построил «марковское расширение» (в действительности бесконечное марковское разбиение), а Хофбауэр и Келлер (и многие другие) изучили динамику во всех подробностях и в различных направлениях. Первый результат, касающийся дзе-та-функций, был получен Балади и Келлером [1]. Дальнейшие результаты см. в работах Келлера и Новицкого [1] Рюэля [13]. В следующей главе мы докажем обобщенный вариант теоремы Балади и Келлера.
Другой подход к изучению дзета-функций кусочно-монотонных отображений интервала был предложен Милнором и Терстном [1] (см. также Престон [3] и Балади и Рюэль [1]).
§ 14. Термодинамический формализм5
Если р — инвариантная вероятностная мера динамической системы (Af, /), то энтропия (инвариант Колмогорова-Синая) h(p) = hf(p)
5B этом параграфе автор кратко излагает некоторые результаты из своей книги «Термодинамический формализм», перевод шторой составляет первые семь глав настоящего издания. Ниже, во всех случаях, когда это возможно, мы заменяем ссылки общего характера на эту книгу указанием конкретных параграфов или глав. — Прті. ред.
§14. Термодинамический формализм
207
измеряет скорость создания информации преобразованием / относительно р (см. Биллингслей [I])6. Если M компактно, а / и A: M —> M непрерывны, то интересно рассмотреть величину P(A), называемую давлением (см. §6.6, а также Рюэль [4], Уолтерс [1], [2] и Денкер, Грилленбергер, Зигмунд [4]) и определяемую равенством
P(A) = sup (h(p) + р(А)). р
В различных случаях можно доказать, что энтропия h полунепрерывна сверху (в слабой топологии на пространстве мер) и что верхняя грань в определении P(A) достигается на некоторой мере, которая называется равновесной мерой (см. гл. 3, а также Боуэн [6]).
В § 8.13 мы заметили, что «обычно» при g > 0 число Ao = ехр P(Iogfl) является собственным значением трансфер-оператора С и что оно равно спектральному радиусу. В действительности «обычно» Ao — простое собственное значение и ему отвечает собственный вектор Ф > 0, а сопряженный оператор С* обладает собственным вектором ц, являющимся положительной мерой. Кроме того (при условии нормировки ц(Ф) = 1), произведение Ф • ц есть единственное равновесное состояние ДЛЯ Iogfl.
Мы по крайней мере можем проверить, что р = Ф • ц является /-инвариантной мерой, т. е. р(А о f)p(A) для всех непрерывных А: Al —> М. Действительно,
р(А of) = »(ф. (Aof)) = ^1(C)1I (Ф ¦ (А о /)) =
= A0-V (С (Ф-(Ао /))) = A0-V И • ?(Ф)) = ц(А • Ф) = р(А);
здесь мы использовали тождество из §8.8.
Интересен вопрос о скорости убывания корреляций для равновесного состояния р = Ф • fi: верно ли, что корреляционная функция
С(п) = р(ІВ о Г))
экспоненциально убывает при п оо (для простоты мы предполагаем, что р(А) = р(В) = 0)? Для ответа на этот вопрос рассмотрим преобразование
6Cm. также Мартин, Ингленд [1], Каток, Хассельблатт [1], Корнфельд, Синай, Фомин [1], Рохлин [2], [3], где можно найти дополнительную информацию об энтропии. — Прим. ред.
208
Глава 8
Фурье - Лапласа
E епаС(п) = E еп“Ао "(?*» {ФА ¦ {В о /")) =
n^O 0
= E е"“А-> (?" (ФА • {В о /"))) =
п^О
= E еи“А0-> {В • ?"(ФА)) = м (В (1 - е“А(71?)(ФА)) .
п^>0
Поскольку в правой части появляется резольвента оператора С, мы видим, что скорость убывания корреляций связана со спектральными свойствами трансфер-оператора и, следовательно, с аналитическими свойствами соответствующей динамической дзета-функции.
§ 15. Связи с другими областями математики
Дзета-функция Римана была введена для изучения статистических свойств простых чисел. В предыдущем параграфе мы видели, что динамическая дзета-функция связана с термодинамическим формализмом и, значит, с эргодической теорией и опять со статистическими свойствами. Это подсказывает вывод о связи динамических дзета-функций с более традиционными областями математики.
Например, Пэрри и Полликотт [1] изучили дзета-функции, связанные с геодезическим потоком на многообразии отрицательной кривизны (не обязательно постоянной) и доказали теорему о распределении замкнутых орбит, аналогичную теореме о распределении простых чисел.
Другой пример — это исследование Майером [1] дзета-функций, связанных, с одной стороны, с геодезическими на модулярной поверхности, а с другой — с преобразованием непрерывных дробей (равновесная мера здесь — это мера Гаусса).
Мы закончим задачей, которая, кажется, совершенно не решена. Известно, что геодезический поток на компактной поверхности постоянной отрицательной кривизны экспоненциально перемешивает (Ратнер). Остается ли это верным для переменной отрицательной кривизны (мы видели, что для отображений имеется простая связь между скоростью убывания корреляций и спектральными свойствами трансфер-оператора, но для потоков ситуация кажется гораздо менее ясной)?
Глава 9
Кусочно-монотонные отображения
В этой главе мы изучим дзета-функции, связанные с системами (X, /, д), где X — компактное подмножество прямой М, /: X —> X — кусочно-монотонная функция и д: X ¦ С — функция ограниченной вариации.
