Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
186
Глава 8
§ 1. Подсчет периодических орбит для отображений и потоков
Пусть /: M —> M — отображение, Fix/"1 = {х: fmx = х} и
ip: M —> Add(C) — матричнозначная функция. Если множество Fix/"1 ко-
нечно при всех т, мы можем определить формальный степенной ряд
OO га— 1
c(z)=expj2 Jfi Yl tiYi iPifkx)- (іл)
m = l xGFi Xfrn к=O
Пусть (/‘)t>o — однопараметрическая группа отображений /*: M —> Af (полупоток) и ((Pt)t^o'. M —> AAd(C) — семейство матричнозначных функций, удовлетворяющее условиям if0 = I, fs+t(x) = Ifs(ZtX)Ift(X). Обозначим через P семейство периодических орбит и через T(7) — период орбиты 7 Є Р. Положим
с = П [cM1 - VrbHx1 ))]“\ (1.2)
7 ЄР
где ж7 — произвольная точка орбиты 7 (здесь мы игнорируем проблему сходимости).
В частности, взяв В: M —> С, можно определить ff (при d = 1)
t
равенством f*(x) = exp J (B(fux) — s) du.1 Тогда
о
Пі)
С = COO = П [l - exp f (B(ZtX1) - s) eft] .
7 ЄР ^
При B = O получим
cw = П (i-e-eTw)_1.
7 ЄР
Очевидно, можно рассмотреть варианты определений (1.1) и (1.2), в которых матричнозначные функции f и Lpt заменены на отображения векторных расслоений над / или /*.
1 Конечно, здесь требуется некоторое условие измеримости, но в этом параграфе оно также игнорируется. — Прші ред.
§ 2. Подсдвиги конечного типа
187
Продакт-формула (см. ниже §4) показывает, что определения (1.1) и (1.2) тесно связаны одно с другим. Мы будем называть объекты только что введенного типа динамическими дзета-функциями. В них суммируются периодические орбиты (отображений и потоков) с весами (определяемыми функцией </?).
§ 2. Подсдвиги конечного типа
Пусть I — непустое конечное множество, называемое алфавитом (можно взять I = {1, ..., card/}), и t — матрица с элементами tij Є {0, 1}, называемая матрицей перехода. Множество I, наделенное дискретной топологией, компактно, вследствие чего произведение Jz тоже компактно. Определим замкнутое подмножество Л С Jz и непрерывное отображение т: Л —> Л равенствами
Л = {(6fc)fcez : hk$k+i = 1 для всех к},
(т(?.))г = 6+1-
Пара (Л, т) называется подсдвигом конечного типа, а отображение т — сдвигом.
Предложение 2.1 (формула Боуэна-Лэнфорда). Дзета-функция
OO
((z) = ехр E Jff CardFixrm
т=1
продолжается до рациональной функции
^ ^ det(l — zt)
Основное наблюдение состоит в том, что cardFixr™ = tr tm.
Теперь, используя общую формулу
det ехр А = ехр tr А,
188
Глава 8
находим
OO OO
C(z) = ехр E Jff card Fix т™ = ехр E Jff =
m=l m=l
= exptr[—log(l — zt)\ = [det(l — zt)]-1.
Впервые это было замечено Боуэном и Лэнфордом [9].
§3. Продакт-формула для отображений
Пусть Per (гг) — множество периодических орбит отображения /: M —> М, имеющих минимальный период гг. При 7 Є Per (гг) и натуральном q обозначим через Y1 ту же орбиту 7, но пройденную q раз. Для
7 Є Per (гг), X1 Є 7 положим
nq—I n—I
Ф(73) =tr П Pifkx-/) =tr (П к=0 к=0
Пусть Per (гг) — множество периодических орбит минимального периода п. Тогда
т—1
E tr П VifkX) =Yj E «Ф(7т/”),
x^Fixf™ к=О п|?П7^Рег(п)
где п j ш означает, что п делит т. Следовательно,
<w=<*p?E?*m E IKiw") =
m=ln|m 7^Per(n)
сю сю
=exP E E Е^ф(^) =
Р=І7ЄРег(р) Q=I
сю р—1
= exP E E [-trl°g(l - Zp п Pifkxi)
Р=І7ЄРег(р) к= О
OO р— 1
= П П det — zp IfiifkX7)
Р=І7ЄРег(р) к=О
§ 4. Продакт-формула для полупотоков 189
Мы получили продакт-формулу
OO р— 1
Ciz) = П П det(l - zp Y[ (PifkX
P=1 7ЄРЄ1-(р) Ic=O
Обозначив через р(7) минимальный период орбиты 7, ее можно переписать в виде
рЬ)~і
C(Z)= n[det(l-z*M П ?>(/4))
7Є-Р k=О
Если, в частности, ip = 1, то
C(Z) = ехр Y1 Ж card Fix /т = П (1 - *
— card Рег(р)
т=1 р=1
Заметим, что все формулы справедливы лишь на уровне формальных степенных рядов.
Пример 3.1. Отображение х 1—> 1 — /їх2 отрезка [—1, 1] в себя, где /і — константа Фейгенбаума, равная 1,401155 ..., имеет при каждом гг ^ 0 одну периодическую орбиту периода 2". Отсюда с помощью тождества
п=0
получаем
2"+1 - 1
-Z2"
C(Z)= ехр ]Г----------------------—-z2” = П (1 - z2J = П (1 + ^
п=0 п=0 п=0
-1
§ 4. Продакт-формула для полупотоков
Предположим, что полупоток (/*) обладает глобальным сечением Е. Это значит, что всякая орбита (рх)^о пресекает E и существует такая функция i: E —> R, что t(x) — наименьшее из тех t > 0, для которых х € Е. Определим отображение ip: E^E формулой ipx = Ipt^x
190 Глава 8
и будем писать ср(х) = Cpt^(х). Тогда
с = п |^det (1 - И7)ю)] =
7 ЄР 00 Р~1 _1
= П П [det(i — П <,ij(/fca;7))] =C{z)\z=r
р=І7ЄРег(р) к=0
Эта формула (в которой мы игнорируем проблему сходимости) связывает дзета-функцию для полупотока и дзета-функцию для отображения.
§ 5. Формула Лефшеца
Для непрерывного отображения /: M —> M компактного многообразия M можно определить индекс Ь(х, /) Є Z любой изолированной неподвижной точки х. Если / дифференцируемо в этой точке и матрица I — Dx/ обратима, то L(x, /) = signdet(l — Dx/). Сумма E L(x, /) (имеющая
