Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
2 п
Z(z, to =n^(z)(-1),+\
I=о
где Pi — многочлен, нули которого по абсолютной величине равны с/ 1Z-, а сам он имеет когомологическую интерпретацию (состоящую, грубо говоря, в следующем: Pi(z) = det (l — zF*\Hl(V)), где F* — действие морфизма Фробениуса на когомологиях).
Если морфизм Фробениуса алгебраического многообразия V заменить диффеоморфизмом / компактного гладкого многообразия, то получится функция
СЮ
C(z) =ехр Y I^cardFix/"1. (6.1)
т=1
194
Глава 8
Артин и Мазур [1] показали, что для плотного в C1-TononorHH множества диффеоморфизмов /
Iim log card Fix/™ < сю
m—>oo ''b
и, следовательно, ряд (6.1) имеет ненулевой радиус сходимости. Затем Смейл [46] предположил, что для диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А, которые он ввел, дзета-функция Артина-Мазура рациональна. Впоследствии это было доказано Гукенхеймером [17] и Мэннингом [25] (см. также Боуэн [8] и Фрид [13]).
Пусть {7} — множество замкнутых геодезических на компактной поверхности M постоянной кривизны, равной —1, и I (7) — длина геодезической 7. Формула
СЮ
Z{s) = П П (1 е-(‘+*>1М) (6.2)
7 к=О
определяет дзета-функцию Селъберга. Это целая функция порядка 2, удовлетворяющая некоторому функциональному уравнению. Она имеет «тривиальные нули» в точках О, —1, ..., —п, ... и «нетривиальные нули» в точках s с Res = 1/2, а также в конечном числе точек интервала (О, 1) (нетривиальные нули функции Z связаны с собственными значениями оператора Лапласа на М).
Число I (7) можно интерпретировать как период периодической орбиты геодезического потока (/*) на М. Этим подсказывается следующее определение дзета-функции потока (/*):
CW= П “1; (6.3)
7 ЄР
здесь P — множество периодических орбит и Г(7) — период орбиты 7. Для геодезического потока на компактной поверхности кривизны —1 мы имеем ((s) = Z(s + I)/Z(s). Смейл [1] предложил определять дзета-функцию потока формулой (6.2), но это определение удовлетворительно лишь в случае, когда кривизна равна —1 (функция (6.2), вообще говоря, плохо ведет себя при замене времени).
Как мы видели, рассмотрение арифметических дзета-функций естественным образом приводит к определениям (6.1) и (6.3) дзета-функций,
§ 7. Свойства динамических дзета-функций
195
считающих периодические орбиты динамических систем. Идеи равновесной статистической механики подсказывают мысль снабдить периодические орбиты весами, т. е. заменить (6.1) и (6.3) формулами
сю т—1
С(й)=ЄХРЕж E ЄХР (6'4)
ш=1 XtFixfni k=О
И
Tb)
C(s) = П I1 ~ ехр(- I (s - B(fx7)) dt)] , (6.5)
где X1 Є 7. Эти формулы задают динамические дзета-функции.
Заметим, что тривиальный выбор B = Ob (6.5), превращающий эту формулу в (6.3), соответствует в силу продакт-формулы из § 4 нетривиальному выбору А в (6.4). Это делает введение веса = еА очень естественным. Определения (6.4) и (6.5) были предложены и изучены Рюэлем [6], [7], [8] (для динамических систем, удовлетворяющих аксиоме А).
Оказалось, что динамические дзета-функции тесно связаны с проблемами эргодической теории (убыванием корреляций, термодинамическим формализмом).
§ 7. Свойства динамических дзета-функций
Если мы сравним свойства теоретико-числовых дзета-функций и динамических дзета-функций, то убедимся, что для последних имеют место
(I) аналитические свойства, которые могут быть подробно изучены;
(II) разложения в ряды Дирихле в случае полупотока;
(iii) продакт-формула;
(iv) возможно, что-то вроде функционального уравнения (см. Рюэль [15]).
Параллелизм бросается в глаза. Если, однако, мы посмотрим на (ко)гомологическую интерпретацию дзета-функции Лефшеца (§ 8.5), то обнаружим, что она полностью разрушается в результате введения весов. В действительности, вместо возможности выразить дзета-функцию в терминах действия динамической системы на конечномерных группах когомологий, мы можем только выразить ее в терминах действия динамической системы на бесконечномерных группах коцепей.
196
Глава 8
Здесь следует упомянуть, что Атья и Ботт в классической работе [1] проанализировали ситуации, в которых все-таки можно «перейти к фактору» и достичь уровня когомологических групп.
Упомянутое выше действие динамической системы на группах цепей задается так называемыми трансфер-операторами, а динамическая дзета-функция выражается через детерминанты этих операторов. В некоторых случаях детерминанты трансфер-операторов — это просто определители Фредгольма (в смысле Гротендика, см. ниже, §11). Ho в других случаях теория Фредгольма-Гротендика требует обобщения.
Замечательно, что Дворк уже на ранней стадии использовал транс-фер-операторы в р-адической ситуации для изучения дзета-функций алгебраических гиперповерхностей над конечным полем. Аналогичные более поздние исследования касались гельдеровской дифференцируемой и аналитической ситуаций.
Как и раньше, рассмотрим отображение /: M —> М, но заменим матричнозначную функцию ф скалярной функцией g: M —> С (матричнозначные функции через минуту появятся снова). Определим трансфер-опера-тор С действующий на функции Ф: M —> С формулой
