Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
угодно малого в.
Присоединив к алгебре Ef^F единицу (если E бесконечномерно) и
взяв
сю
и = E X1 <8) X1, г=1
где Xi Є Е, X1i Є E', естественно положить по определению
СЮ
Det(l+w) = l + E E detI(x^xU))= (11Л)
П = 1 %\ < . . . <Іг>
OO
= 1 + Е^а»’ (11-2)
п=1
где ((X1ii, Xik)) представляет собой п х гг-матрицу, элементы которой индексированы числами к, I = 1, ..., п.
Если их, ..., ип Є E' ® Е, можно написать
OO
Uk = ® хкі, к = 1,...,71,
1=1
и определить п-линейную симметричную функцию ап : {E'^F)n С равенством
an(ui, ...,ип) = E---Edet((^’ xkik))-
ii Ui
Отображение E'%)F —> C(E, /) часто оказывается инъективным; в этом случае E'QjF можно отождествить с подпространством пространства С(Е, /).
§11. Теория Фредгольма-Гротендика 201
He ограничивая общности, можно взять \\х[\\ = 1. Тогда
п Ti
I ап(щ, ..., un) I ^ Y' "Y2 П (nlZ2)IIlfc^' Il =гг"/2 П YlWxkiW'
і\ іГІ k= 1 к=1 г
так что S„(wi, ..., ип)\ ^ гг”/2||иі||і. . . ||м„||і. Так как ап(и) =
= ап(и, ...,и), мы видим, что (11.2) определяет на E'®F целую аналитическую функцию и —> Det(1 + и).
Теорема 11.1. Следующие условия эквивалентны'.
(а) оператор 1-й обратим на C(E),
(б) оператор 1-й обратим в алгебре, полученной путем присоединения единицы к E'®F,
(в) Det(l — и) ф 0.
Теперь можно написать
где R(u) — операторозначная целая аналитическая функция от и (коэффициенты которой могут быть конкретно указаны).
Теорема 11.2. Если А — собственное значение кратности п оператора и, определенного включением и Є E'®F (т. е. если п —размерность соответствующего обобщенного собственного пространства), то А-1 — нуль порядка п целой функции z н-> Det(l — zu).
Замечания 11.3. (а) След J2xi ® хг J2(xi, хг) продолжается до непрерывной линейной формы Tr: Е' .Е ¦ С и справедливо тождество
СЮ
Det(l — zu) = ехр — Yl JT Trw",
П=1
связывающее степенные ряды, сходящиеся в некоторой окрестности нуля. В частности, если z н-> Det(I — zu) имеет порядок < 1 и, значит, род 0, то E M < сю (где А і — собственные значения оператора и) и Tr и =
(б) В силу наших оценок коэффициентов функции z н-> Det(I — zu) эта целая функция имеет порядок ^ 2. Теперь, пользуясь результатом Гротен-дика (см. [1], гл. 2, стр. 18), получаем
Det(I - zu) = e~zTlu\[{l - zXi)ezXi,
202
Глава 8
где произведение берется по всем ненулевым собственным значениям А і (каждое из которых повторено столько раз, какова его кратность). Если E |AjI < сю, то
(в) Если M и L — компактные пространства и то — мера на L, то непрерывное ядро К: M х L —> С определяет элемент и Є C(L)'(&С(M), отвечающий оператору
Описанная ситуация содержит классический случай, рассмотренный Фред-гольмом, к которому теория Гротендика, следовательно, применима. Гро-тендик указал ряд неклассических примеров, в которых его теория также работает.
§ 12. Линейные отображения, улучшающие аналитичность
Рассмотрим d-мерное комплексное многообразие V и ограниченную меру то на V, имеющую непрерывную положительную плотность. Для открытого UcV обозначим через E(U) подпространство голоморфных функций из L2(U, m\U) и через || • Цу соответствующую норму (можно было бы рассмотреть и более общую ситуацию, когда E(U) — гильбертово пространство интегрируемых в квадрате голоморфных сечений голоморфного векторного расслоения над U).
Предложение 12.1. Пусть F — банахово пространство и и: E(V) —> F —линейное отображение, удовлетворяющее условию
где U — открытое множество с компактным замыканием UcV. Тогда
Det(I — zu) = е az Ц(1 — zXi)
где a = Tr и -
причем
мФ| I ^ const) |Ф| \и
и связано с и Є E(V)'®F, и можно написать и = E -^kXrk <8> Ук, где
к=1
§ 12. Линейные отображения, улучшающие аналитичность 203
Ila-Zcll ^ Г 1Ы1 =? 1 м 0 < AjIc ^ exp^A — Bfc1/^) (А, В — константы, причем В > 0).
Мы можем выбрать такие открытые множества Wi, W2 с компактными замыканиями Wi, W2, что
U С Wi CWiC W2 CW2CV.
С помощью формулы Коши можно убедиться, что отображения ограничения E(W2) —> E(W2) —> E(U) определяются ограниченными непрерывными ядрами. Будучи квадратично интегрируемыми, они отвечают элементам J^XiVri <S) Vi с E \Xi\2, !KU =? I, ||t>j|| =? 1. Тогда отображение ограничения E(W2) —> E(U) отвечает элементу XiWfi <S) Wi с E IAiI2, IKII ^i, 11 г;* 11 ^ 1. По построению Wi Є L2(U, rn\U), а применив проектирование, можно взять Wi Є E(U).
При Ф Є E(V) мы можем оценить го'(Ф) с помощью разложения Тейлора функции Ф в конечном числе точек a,j и производных в этих точках, выраженных в терминах интегралов Коши. В результате получаем
^(ф) = E E «fcl+'''+kdA^ ¦ "У,*... да, j ki,...,kd^0
где 0 < a < I и
IAljTc1... fcj =? const, \\u'jki. .. kd\I ^ const.
По предположению її получено с помощью композиции отображения ограничения E(V) —> E(U) и ограниченного линейного отображения <р: E(U) —> F. В итоге убеждаемся, что й связано с
E E akl+¦ ¦ ¦+kd u'jki ...kd (^YjXiAijkl. ..kd(ipwj),
j k\. /c^O г
что и есть требуемое выражение. Заметим, что а можно считать произвольно малым положительным числом и, тем самым, В — произвольно большим.
