Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
(2) Так как конструкция удваивает точки bi, ..., bs, можно было бы начинать с функций fug, которые принимают в этих точках по два значения («левое» и «правое»). На этом пути можно изучать кусочно-монотонные отображения /: [0, 1] —> [0, 1], имеющие точки разрыва.
Предложение 9.3 (построение марковского разбиения (Ji, ..., Jn)4).
Можно так выбрать (X, /, д), (Jj, ..., Jat) и сохраняющее порядок инъективное непрерывное отображение тг: X —> X, что f он = цо f, gorK = д и ітJi С Ji, і = 1, ..., N. При этом разбиение (Ji, ..., Jn) можно сделать марковским.
С помощью 7г отождествим X с некоторым подмножеством множества X так, что /, g являются продолжениями /, g и Ji = Ji П X, і = = 1, ..., N. Тогда Y = Х\Х будет объединением некоторого множества открытых интервалов (Ua), каждый из которых содержится в некотором Ji, и для каждого Ua найдется такое п ^ 0, что Ua, fUa, ..., fnUa будут интервалами из семейства (Ua), причем g\fnUa = 0. Каждый интервал Ua отделен от интервалов Up сверху или снизу некоторой точкой х Є X \ Y.
Отображение Ф Ф|Х определяет изоморфизм B^y —> В банаховых пространств.
Напомним, что по предположению Ji < ... < Jn, а є (г) равно +1 и —1, если / соответственно возрастает или убывает на Jj.
Пусть Xi1... ik и Ji1... iki — копии множеств X и Ji. Снабдим их пер-
воначальным порядком, если П є(іг) = +1, и противоположным порядком,
к
если П є(іг) = -1. При I1 = Ji, ..., ІІ-1 = ji-1, ii < ji положим
Г= I
г-i
Г = 1
4Cm. приложение в [13] для случая, когда (Ji, ... , Jn) — образующее разбиение.
216
Глава 9
Таким образом, на дизъюнктном объединении
X^ = Xi1 . . .ік = Ji1 . . . ikik + i і к Ij
Іі . . . Ik Іі . . . IkifrJr I
вводится некоторый порядок. Положим Xlu' = X.
Ограничение / на Ji определяет отображения Ji —> X и
Jil . . . ікік+і *¦ Xi1 ... ih + 1 ,
а также отображение
n^:X^=\Jjn...lklk+1 X^7
которое является сохраняющим порядок гомеоморфизмом множества X^ на его образ тт^X^ С Х^к+1\
Определим отображение : X^fe+1) —> X^ равенством
~(к)^х) = j (тт{к)у1х, если а; Є тг^ Jil.. .ік+1,
{ min или max Jil. .. ik+1, если XGl11... ifc+1 \ TT^Jil. .. ik+1,
где выбор максимума или минимума определяется требованием, чтобы тт'^ не убывало. В частности, отображение тг^тг^ тождественно на Х(к\
Определим X = Iim X ® как обратный предел
*(°) *(1} <___ ... <_Xi-k^ <_ ...
и пусть 7г: X —> = X — соответствующее отображение. Множество X
компактно и упорядочено, его можно рассматривать как компактное подмножество прямой; отображение 7? непрерывно и сохраняет порядок. Определим также отображение 7Г: X —> X равенством
TTX = (X, ТГ^Х, 7Г^7Г^Х, . . .).
Оно сохраняет порядок, является гомеоморфизмом множества X на его образ и обладает тем свойством, что 7гтг тождественно на X.
Положим
jf0)=j*, jffe+1) = U -^«1... і* C*(fe+1), к+ 1? I.
§ 2. Построение новых систем 217
Поскольку Xa1. . Ak и Xi1. . .ik — копии множества X, существуют естественный монотонный гомеоморфизм множества на X^ и кусоч-
но-монотонное отображение
f(k). х(к+1) = (J j(k+1) ^ х^'
І
Легко проверить, что
j{k+1) 0 ж(к+1) _ ж(к) 0 J(к) ^ f(k) 0 ^(fc+1) _ ^(к) 0 j(k+1)_
Если ? = {жо, Xi, ..., хп, ... } Є X, положим
= (/(0)хі, /(1)а;2, ..., f{n)xn+1, ...) .
Отображение / на множестве
Ji = Iimjf0 = ^T1J1
есть гомеоморфизм этого множества на X, сохраняющий порядок, если є (і) = +1, и меняющий его на обратный, если є (і) = —1. Тем самым, / — кусочно-монотонное отображение X —> X, причем
/ О 7Г = 7Г О /
и (Ji, ..., Jat) — марковское разбиение для /. Кроме того, Ji = = 7?-1(7? О 7Г) Ji D 7Г Jj.
Пусть Xi — характеристическая функция объединения N интервалов [min7rJj, max 7г Jj] в X. Положив
Ш) = хі(0 °д(кОі
получим функцию ограниченной вариации (так как Var Xi ^ 2N и Var д о 7? = Var 5).
Для любой тройки а = (п, г, є), где гг ^ О, І^г^іУиє = ±1, положим
Ua = {? = (х0, X1, ...) Є Ji :
Хк+і = ТЇ{к)Хк ДЛЯ к = 0, . . . , П - 1 И Жп+1 ^ ТГ^Хп},
218
Глава 9
где ^ означает <, если є = — 1, и >, если є = +1. В таком случае IJ Ua =
а
= Х\ттХ = Y. Если п > 0, то fUa есть некоторый элемент Up семейства (Ua) (чтобы убедиться в этом, надо воспользоваться равенством yffc+1)^*+1) = тг(k)f(k)y Если п = 0, то включение ? Є Ua означает, что Xi ф тт^ Ji, т. е. Xi(C) = 0 и, значит, д(?) = 0.
Заметим, что интервал Ua отделен от интервалов Up, лежащих сверху ИЛИ СНИЗу ОТ НЄГО, ТОЧКОЙ TTTTUa.
Ограничение Ф і—> Ф о тт определяет не увеличивающее норму отображение В —> В, но для каждого Ф Є В можно найти такое Ф, что Var Ф = = Var Ф. Тем самым, отображение Ф і—>• Ф о тт определяет некоторый изоморфизм B^y В.
Предложение 9.4 (построение образующего разбиения (Ji,. . . ,Jn)5)-По заданному разбиению (Ji, ..., Jn) можно выбрать такие (X, /, д), (Ji, ..., , Jn) и сохраняющее порядок непрерывное сюръективное отображение тт: X —> X, что / о тт = тт о f, g(?) = д^^1^), если Cardvr-1^ = I,6 и тTJi = Ji при і = 1, ..., N. Кроме того, (Ji, ..., Jn) — образующее разбиение.
