Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Множество Y = {? Є X: card7r-1^ > 1} счетно', замкнутые интервалы Ua = 7Г_1С с ? Є Y имеют вид |"| f~kJi(k) \ / отображает каждый
fc^O
такой интервал в другой интервал Up из того же семейства: fUa С Up; отображение Ф н-> Ф о тт определяет изоморфизм банаховых пространств Bx9 —> В\у, где Y = TT-1Y = J Ua.
а
Если (Ji, ..., Jn) марковское разбиение, то (Ji, ..., Jn) — образующее марковское разбиение. Каждая точка ? Є V является предельной для X \ Y и один из концов каждого интервала Ua является предельной точкой для X \ Y.
При х, у Є X будем писать х ~ у, если fkx, fky при всех k ^ 0 принадлежат одному и тому же J^k)- Так как Ji, ..., Jn попарно не пересекаются, мы получаем отношение эквивалентности. Каждый класс эквивалентности [ж] — это замкнутый интервал, который мы обозначим Ua, если он содержит более одной точки. В этом случае diam Ua > 0, что может иметь место лишь для счетного множества интервалов Ua. Пусть
5 Для случая интервала в Z см. Балади, Рюэль [2].
s Дальнейшие условия будут наложены в замечании 9.5(1) и предложении 9.9 (см. ниже).
§ 2. Построение новых систем
219
тг: X —> X стягивает каждый интервал Ua в точку. Тогда X оказывается компактным подмножеством прямой, тг сохраняет порядок и вне некоторого счетного множества Y выполняется равенство card7r-1a; = 1.
Соотношения / о7Г = 7Го/и TT Ji = Ji определяют / и связанное с / разбиение (Ji, ..., Jn)- По построению это разбиение является образующим.
В данный момент мы накладываем на д лишь условие, что д(?) = = д(7г-1?), если card7r-1? = 1; разумеется, оно согласовано с неравенством Varg < оо.
Поскольку ограничение / на Ua (с Ji) — это гомеоморфизм, / переводит Ua = П f~kJi(k) в П f~k+1Ji(k) = П f~kJi(k+1) = UP’ где
О 1 к^ О
card Up > 1.
Отображению Ф —> Ф о тг отвечает не увеличивающее норму отображение = &\y- Ho если Ф Є В\у, то в классе, которому принадлежит Ф, найдется Ф, постоянное на каждом Ua и такое, что УагФ = |Ф||. Поэтому, положив Ф = Ф о 7Г, мы получим Var Ф = Var Ф = ||Ф||. Отсюда следует, что B^y В\у — изоморфизм.
Ясно, что если (Ji, ..., Jn) — марковское разбиение, то (Ji, ..., Jn) тоже марковское разбиение и X = ттХ — канторово множество. Так как
Y — счетное множество, каждая его точка является предельной для X \ Y. Следовательно, каждое Ua содержит предельную точку множества X \ Y.
Замечания 9.5. (1) тт определяет инъективное отображение
Fix- /™ -> Fix- /™,
и для X Є Fix- fm можно положить д(ттх) = д{х).
[Так как /™ о тт = тт о /™, мы имеем тт Fix /™ С Fix /™ и тт Fix- /™ С С Fix- /™. Предположим, что х Є Fix- fm, у Є Fix- /пяттх = тту = ?. Тогда ? Є Fix / и можно предположить, что к — минимальный период точки ?, так что m = кр, п = kq, где р и q — нечетные числа. Поскольку fkpq индуцирует убывающее отображение 7Г-1? —> 7г-1?, неподвижные точки X и у совпадают. Следовательно, 7г-1? содержит не более одной отрицательной периодической точки для / и отображение Fix- /™ —> Fix- fm инъективно. Инъективность отображения Fix- fm —> Fix- fm X дает возможность положить д(ттх) = д(х) при х Є Fix- /т].
(2) Если / — кусочно растягивающее (т. е. f\Ji растягивает с коэффициентом ^ 0-1 > 1 при і = I, ..., N), то (Ji, ..., Jtv) — образующее
220
Глава 9
разбиение. Тогда отображение 7г, построенное в предложении 9.4, — тождественное.
(3) Конструкции предложений 9.3 и 9.4 можно применять последовательно, причем они почти коммутируют. Независимо от порядка их применения получаются полный сдвиг (X, /) и отображение 7г: X —> X, удовлетворяющее соотношению / О 7Г = 7Г о /. Ho в зависимости от этого порядка д соответственно переходит в отображения д\ и (?, которые могут быть различны. Если, однако, при построении этих отображений сделан соответствующий выбор, то на множестве ттХ они будут совпадать.
Следствие 9.6. Пусть 0 = ао < «і < • • • < «jv = 1. Предположим, что отображение /: [0, 1] —> [0, 1] непрерывно и строго монотонно на
интервалах [а*_ь а*], a g имеет ограниченную вариацию1. Пусть, далее,
(X, /, g), (Jj, ..., Jtv) и 7? получены в результате применения предложения 9.1 к ([0, 1], /, #), ([а0, аі], ..., [аjv-ij а/v]), a (X1 /, g), (Jb ..., Jjv) м 7?2 — е результате применения предложения 9.4 /с (X, /, g), (Ji, ..., Jjv). Тогда ТС2 определяет биекцию Fix- /т —> Fix- /т и для х Є Fix- /т можно положить д(тг2х) = д(х).
Каждое множество Tr2 1 ? есть, по построению, интервал в R (т. е. оно связно). Если ? Є Fix- fm, то fm переводит этот интервал в себя и, следовательно, тг^1^ содержит некоторую неподвижную точку X Є Fix- fm. Отсюда видно, что 7? отображает Fix- fm на Fix- /™, и доказываемое следствие вытекает из замечания 9.5(1).
Предложение 9.7 (построение д, непрерывного в периодических точках). Если (Ji, ..., Jjv) — образующее разбиение и S — множество периодических точек, то можно так выбрать (X, /, д), разбиение (Ji, ..., Jjv) и сохраняющее порядок сюръективное непрерывное отображение тг : X —> X, что Ji = 7г-1 J^ при г = I, ..., N, тг о / = / о тт, 9 (О = 9(^0 nPu ? S и g непрерывно на множестве iT-1S1. Разбиение (Ji- ..., Jjv), вообще говоря, не является образующим. При отображении 7г прообразы точек некоторого счетного множества двухточечны, а прообразы остальных точек одноточечны. Кроме того, энтропия h любой /-инвариантной вероятностной меры удовлетворяет соотношению h = = h о 7Г, вследствие чего h полунепрерывна сверху.
