Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
[Покроем Cl конечным числом N множеств диаметра < <5, где <5 определено в параграфе 7.3. Для всякого п > 0 пространство Cl можно покрыть не более чем TV2"-1 множествами Si диаметра < CAn. Поэтому, если а > (2 IogiV)/ IogAj, то
Iim CX1 = О,
TL—^OO
Iim V(diam St)a < Iim N2n~1(C\n)a = ^ Iim (N2Xa)71 = О, п—>оо J п—^oo VV п—>оо
г
и, значит, dimil ^ (2 log iV)/1 IogAj (см. Биллингслей [1], § 14).]
2. Пусть (Cl, /) — топологически (+)-транзитивное пространство Смейла. Тогда следующие условия на функцию В Є c^a(Cl) эквивалентны:
(a) сг(В) = О для всех сг Є I.
п — 1
(b) Y B(fkx) = О для всех п их Є Fix/n. к=о
8Этот результат, принадлежащий Розенбергу, сообщен мне Боуэном.
Упражнения 183
(с) В = С о / - С, где С Є cS(Cl).
В (с) функция С определена с точностью до аддитивной постоянной, и если выполняется условие (SS3) из параграфа 7.11, то С Є cSa(Cl).
[Импликации (с)=^(а)=^(Ь) тривиальны. Чтобы доказать (Ь)=^(с), выберем точку у Є Cl, для которой множество Г = {fky: к Є Z} плотно в Cl, и построим сначала функцию С на множестве Г так, как это было сделано при доказательстве теоремы 5.7. Пусть и, v Є Cl, fky -> и, fy -> v и I — к =г +оо. Если расстояние d(u, v) достаточно мало, то существует точка z, для которой fl~kz = Z и d(fmz, fk+my) < 5 при т, Є [О, I — к] (см. §7.3). Тогда
l-k-1
C(v) - С (и) = Iim [C(fy) - C(fky)} = Iim ? B(fk+^y) =
3=0
l-k-1
= Iim Y1 [B(fk+jу)-B(Pz)].
3=0
Последнюю сумму можно оценить почленно, пользуясь тем, что d(fk+iy, Pz) < const X max(AJ, А^-^--7').
Перейдя к пределу при I — к —> оо, z —> [и, v], получим:
OO OO
C(v) - C(U) = YWu) - у])] + Yw~jv) - ?(/“>, V])].
j=o j=і
Таким образом,
I C(v) — С (и) I < const х \d(u, [и, v])a + d(v, [и, г>])“].
Отсюда следует, что С Є cS(Cl), а если выполняется условие (SS3), то С Є cSa(Cl).]
3. Используя упражнение 2, покажите, что при выполнении условия (SS3) (см. §7.11) функция С из следствия 7.10(c) является гельдеров-ской.
4. Пусть / — растягивающее отображение. Тогда
(а) Если / топологически перемешивает, то множество периодических точек всюду плотно в Cl.
184 Глава 7
(b) / топологически перемешивает тогда и только тогда, когда для каждого непустого открытого множества О С Cl существует такое N > О, что fN0 = Cl.
(c) Если множество периодических точек всюду плотно вОиО связно, то / топологически перемешивает.
[(а): В силу замечания 7.27(d) отображение / топологически перемешивает. Поэтому О состоит из неблуждающих точек и, следовательно, периодические точки всюду плотны в Cl. Ho тогда (см. замечание 7.27(b)) периодические точки всюду плотны в Cl. (Ь): Пусть / топологически перемешивает и О — непустое открытое подмножество пространства Cl. С учетом (а) возьмем х Є О П Fix fp. Заменив О достаточно малым шаром с центром в точке х и пользуясь условием (E), получим О С fpO. Таким образом, множество fnpO возрастает с ростом п. Если у Є IJ fnpO, то в
п> О
силу (E) {z: d(z7 у) < 2е} С IJ fnpO. Так как / перемешивает, множе-
п> О
ство IJ fnp0 всюду плотно в Г2 и, значит, совпадает со всем простран-
n> О
ством Cl. Множества fnp0 открыты, а пространство Cl компактно. Поэтому существует такое п, что JnpO = Cl. Обратное утверждение очевидно, (с): доказывается так же, как (Ь).]
Глава 8
Введение в динамические дзета-функции
Главы 8 и 9 основаны на айзенштадтовских лекциях «Динамические дзета-функции», прочитанных автором в Монреальском университете в октябре 1993 г. Ho здесь акцент сделан на другом. С одной стороны, уже существуют два прекрасных обзора, посвященных этому предмету: они принадлежат Перри и Полликотту [33] и Балади [3]. С другой стороны, теория дзета-функций для гиперболических динамических систем находится в движении благодаря продолжающейся работе Py [45] и Фрида. По этой причине гиперболические системы здесь подробно не обсуждаются. После общего введения, содержащегося в главе 8, мы сосредоточимся на кусочно-монотонных отображениях интервала и дадим подробное доказательство обобщенного варианта теоремы Балади и Келлера [4] (гл. 9). Эта теорема содержит типичные утверждения, которые желательно иметь для дзета-функций, связанных с различными классами динамических систем, а изложенный здесь вариант представляется в разумном смысле окончательным.
He сразу очевидно, что динамические дзета-функции, которые мы определим ниже, интересны с математической точки зрения. Наша цель в этой главе — показать, что в действительности они представляют собой интересный и естественный объект для изучения. Попутно мы вводим здесь понятия, необходимые для главы 9, что делает изложение в известном смысле замкнутым.
Для более подробного ознакомления с материалом этой главы мы рекомендуем монографию Перри и Полликотта [33] и обзорную статью Балади [3]; в них содержатся также многочисленные ссылки на литературу по динамическим дзета-функциям.
Заметим, что в гл. 8 мы отдаем предпочтение доступности перед строгой логической организацией и полнотой: эта глава представляет собой скорее введение, чем обзор.
