Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Напомним, что В — это банахово пространство комплекснозначных функций ограниченной вариации, определенных на X. Обозначим через В аналогичное пространство функций на X, а через By — подпространство функций, равных нулю вне множества Y С X. Положим также В у = = В/В9.
Предложение 9.1 (конструкция разбиения (J1, ..., Jn)3).
Можно так подобрать (X, /, g), (Ji, ..., Jn) и сохраняющее порядок непрерывное сюръективное отображение тг: X X, что 7? о / = / о 7г, g = g Отт и 7гJi = Ji для і = 1, ..., N. Кроме того, можно сделать так, чтобы J\, ..., Jn не пересекались, прообразы точек некоторого счетного множества при отображении тг были двухточечными, а прообразы всех остальных точек — одноточечными.
Если Z = {х Є X, card7?-1a; = 2}, Y = IJ fnZ и Y = 7?-1У, то
О
каждая точка множества Y есть предел точек из X \ Y, а каждая точка множества Y — предел точек из X \ Y.
Отображение Ф Ф 07? задает изоморфизм банаховых пространств.
Пусть Ъ\, ..., Ъ8 — точки множества X, принадлежащие двум разным интервалам Jj. Предположим, что ? Є X, fk? Є {&і, ..., &<,} для некоторого k ^ 0, и выберем наименьшее из этих к. Если к ^ 1, предположим дополнительно, ЧТО ( He является КОНЦОМ какого-либо ИЗ интервалов Ji.
3Для случая X = [0, 1] см. Хофбауэр и Келлер [1].
§ 2. Построение новых систем
213
Заменим ? двумя точками, < ?+, и вставим между ними пробел длины єак, где 0 < о. < 1/N, так что общая длина вставленных пробелов не будет превосходить se(l — Na)-1. В результате мы получим компактное множество XcRh стягивающее отображение тг: X —> X, которое сохраняет порядок, на некотором счетном множестве переводит две точки в одну, а вне этого множества является взаимнооднозначным.
Определив д равенством д = д о тг, убеждаемся, что var д = var д < оо.
Для каждого интервала Ji = {х Є X: cti ^ х ^ Pi} определим Ji = = {!; Є X: Cti ^ ^ Pi} условиями тг Si = а, тг (Зі = (Зі; если при этом
TT^1CXi = {&І-, С^г+}, ПОЛОЖИМ Si = OLiJr, & если 7Г-1Pi = {Pi-, Pi+}, положим Pi = Pi-. Из этого определения видно, что интервалы Jj не пересекаются и TfJi = Ji.
Отображение / полностью определяется условием, что оно монотонно и гомеоморфно отображает каждый интервал Jj, і = I, ..., N, на некоторый замкнутый интервал в X и что 7г о / = / о 7г.
Покажем, что точки множества Y (соответственно множества Y) являются пределами точек множества X \ Y (соответственно X \ Y). Так как (Ji, ..., Jtv) — минимальное покрытие, точки bi, ..., bs, принадлежащие двум разным Jj, обязаны быть пределами слева и справа других точек множества X. Вспомним, что
Y= (J PZ7
гС^ О
Z = {х Є X: card7r_1a; = 2} = [^J Zk,
о
где
Zq = {Ъ\, ..., bs},
а при к > 1
Zk = P1Zk^XZi,
Zfc = {концы интервалов Jj} U Zi U ... U Zfc_i.
Индукцией по к доказывается, что все точки из Z являются предельными точками (слева и справа) других точек из X. Следовательно, все точки множества Y являются пределами (по крайней мере с одной стороны) других точек множества X.
214
Глава 9
Предположим теперь, что точка у G Y не является пределом точек из X \ Y, т. е. у нее найдется такая открытая окрестность V, что XnV = = YnV. Тогда по доказанному каждая точка из Y П V является пределом других точек из YnV. Пользуясь этим, построим (путем последовательного удвоения) при каждом п ^ 0 конечные множества Yn, YJ1 С Y, удовлетворяющие условиям
CardFn = CardFi: = 2", Y0 = {у}, YjnYn = 0, Yn+1 = Yn U Yj.
Очевидно также существование при каждом п такого еп > 0, что все попарные расстояния между точками множества Yn больше ?„, а для каждой точки множества YJ найдется отличная от нее точка множества Yn, расстояние до которой не превосходит Замыкание объединения IJ Yn будет
тогда некоторым канторовым множеством К С X, пересечение которого с V несчетно, что противоречит предположению KnV CXnV = YnV, так как последнее множество счетно. Тем самым, доказано, что Y принадлежит замыканию множества X \ Y.
Чтобы получить соответствующий результат для Y = TT-1Y, заметим, ЧТО F=U fnZ, где Z = 7Г 1Z и все точки множества Z являются
п^О
(односторонними) пределами других точек из X. Следовательно, все точки множества Y являются пределами (по крайней мере с одной стороны) других точек множества X. Дальнейшие рассуждения аналогичны уже проведенным.
Отображение Ф н-> Ф о 7г переводит В в подпространство пространства В, состоящее из тех Ф, для которых Ф(^) = ф(?0’ если 7? = TlS,'. Пусть задано Ф Є В у. Взяв Ф С В в том классе смежности, которому
принадлежит Ф, можно так изменить Ф в точках множества Y, чтобы получилось Ф', удовлетворяющее условиям: Ф'(?) = Ф/(^/), если = 7?^, и УагФ' ^ УагФ. Следовательно, Ф' = Ф о Ї и если Ф Є В\у — класс смежности, которому принадлежит Ф, то
11ФI = inf УагФ' = inf УагФ о тг = inf УагФ = ||Ф||.
Отсюда видно, что отображение Ф н->• Ф порождает изоморфизм В\у —> B^y банаховых пространств.
§ 2. Построение новых систем
215
Замечания 9.2. (1) Всюду, кроме конечного числа периодических орбит, проходящих через &1, Ьв, отображение 7г определяет при каждом ш ^ 1 биекцию Fix/™ —> Fix/™.
