Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рюэль Д. -> "Термодинамический формализм" -> 56

Термодинамический формализм - Рюэль Д.

Рюэль Д. Термодинамический формализм — Ижевск, 1995. — 281 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriteciskieformati1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 84 >> Следующая


Интересная ситуация возникает, естественно, в случае, когда / необратимо и существует конечное (или хотя бы дискретное) множество обратных ветвей фш (часто удается извлечь пользу из перехода от задачи с обратимым / к задаче с необратимым /). Перепишем С в терминах обратных ветвей или, более общим образом, определим (обобщенный) трансфер-оператор К, одним из следующих равенств:

§ 8. Трансфер-операторы

СФ(х) = E яіуШу)-

у: / у=X

Отметим важное свойство:

?(Ф- (Ф'о/)) = Ф' • (?Ф).

1СФ(х) = ^(рш(х)Ф{фшх),
§ 9. Следы и определители

197

здесь фш — гомеоморфизм, переводящий одно из подмножеств пространства M в другое, и m(du>) — некоторая мера. Оператор К, действует в банаховом пространстве В функций (обычно непрерывных) на M или, в более общем случае, на пространстве сечений некоторого векторного расслоения.

Если M и / — гладкие, мы можем заменить g матричнозначной функцией g ¦ и в результате получить трансфер-оператор действу-

ющий на /-формы, причем СІ<Уі — исходный трансфер-оператор С.

Если M и / обладают свойством гладкости и график функции / транс-версален к диагонали Д С Mx М, естественно определить «след» (или «плоский след», см. Атья и Ботт [1], Гийемин и Стернберг [1]).

где Dx/ — производная функции /, действующая в касательном пространстве TxM. Естественность этого определения вытекает из того, что в локальных координатах в окрестности точки х мы имеем согласно теории распределений

(ядро ?(?, г]) определено так, что ?Ф(?) = J ?(?, г/)Ф(г?) drj).

Это определение естественным образом обобщается на трансфер-опе-

где Tr обозначает след оператора в конечномерном пространстве A1TxM. Тогда мы получаем таинственный результат

§ 9. Следы и определители

J ?(?, - v) dr) = J g(r))5(r) - f - rf) d?, dr) =

= J g(0s(?, - /_10 d?, = g(x)/1 det(l - DxJ-1)

раторы C1 с помощью формулы
198

Глава 8

(индекс Лефшеца L(x, /-1) достаточно просто связан с L(x, /) и во многих случаях равен единице).

С помощью «следов» Tr определим «детерминант» Det обычной формулой

СЮ

Det(I - zC) = ехр (- E С Tf С™) ¦

тп=1

Тогда мы получим

dimM

c(z)= п (Deta-z^))*"15 ,

I=о

где есть ("-функция Лефшеца. Различие между (х и ? не должно вызывать серьезного беспокойства: часто эти две функции довольно просто связаны. Серьезная проблема состоит в том, чтобы выражению Det(l — z!l!) придать смысл не формального степенного ряда, а аналитической функции, определенной в достаточно большой области. Здесь потребуется спектральная теория трансфер-операторов, и результат будет зависеть как от рассматриваемого класса динамических систем, так и от функционального пространства.

Обратимся теперь ненадолго к теории детерминантов Фредгольма, которые служат одним из хорошо понятых примеров функциональных детерминантов типа Det(I — zС).

§ 10. Целые аналитические функции

Стоит напомнить некоторые результаты, касающиеся целых аналитических функций.

Пусть целая аналитическая функция f(z) имеет нуль порядка то в точке 0 и пусть (oik) — последовательность других ее нулей, расположенных в порядке возрастания модулей, в которой каждый нуль повторен столько раз, какова его кратность. При А > 0 положим

S(X) = Y^rx

и определим показатель сходимости нулей ро формулой

Po = inf {А: 5(A) < +сю}.
§11. Теория Фредгольма-Гротендика 199

Если ро < -(-оо, мы называем родом функции / наименьшее целое р ^ О, для которого S(p + 1) < +оо (таким образом, р = [/%], если только ро не есть целое число ^ 1, в этом последнем случае р pi, 1). По формуле Вейерштрасса

к

P

где до = 0, gp(z) = E Zk/к и д — некоторая целая функция. к=1

Порядок р целой функции f(z) = E akZk определяется равенством р= Hm ——loglogmax \f(z)\ = Iim n^0Sn

г—>оо

Iogr \z\=r r^oo j log |а„||'

Теорема 10.1. Всегда справедливо неравенство

Po =? P

и в случае, когда р < оо, функция g в (10.1) — многочлен степени < р, причем ро = р, если только р не есть целое число ^ 1.

§11. Теория Фредгольма-Гротендика

(Cm. Гротендик [1], [2].)

Если Ei, ..., En — банаховы пространства, то норма || • Ці на ^Ei определяется равенством

IImIIi =inf E IIlilII ’ II1i2II ’' ’ N«11’

г

где нижняя грань берется по всем представлениям

и = Xg ® Xj2 ® ® Xin.

І

Пополнение произведения ®Еі по этой норме есть есть банахово пространство <S)Ei (проективное тензорное произведение пространств Ei). Гротендик назвал элементы этого пространства фредгольмовыми ядрами.
200 Глава 8

Если Е, F — банаховы пространства и E1 — пространство, сопряженное к Е, то существует каноническое отображение E'®F —> С(Е, /), определение которого очевидно. Оно не увеличивает норму4. Образ и Є С(Е, /) элемента и Є E'®F называется ядерным оператором, переводящим EbF. Всякий такой оператор компактен. В частности, образ пространства E'®F есть идеал в C(E). Всякий элемент и Є E.F можно записать в виде сходящегося ряда

СЮ

и = Y^ixi ® Уі,

і=I

где Xi Є Е,УІ Є F, Il Xi\\ =? 11 Уг 11 =? I, Aj > 0 и ^Ai =? ||w||i + є для как
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed