Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Интересная ситуация возникает, естественно, в случае, когда / необратимо и существует конечное (или хотя бы дискретное) множество обратных ветвей фш (часто удается извлечь пользу из перехода от задачи с обратимым / к задаче с необратимым /). Перепишем С в терминах обратных ветвей или, более общим образом, определим (обобщенный) трансфер-оператор К, одним из следующих равенств:
§ 8. Трансфер-операторы
СФ(х) = E яіуШу)-
у: / у=X
Отметим важное свойство:
?(Ф- (Ф'о/)) = Ф' • (?Ф).
1СФ(х) = ^(рш(х)Ф{фшх),
§ 9. Следы и определители
197
здесь фш — гомеоморфизм, переводящий одно из подмножеств пространства M в другое, и m(du>) — некоторая мера. Оператор К, действует в банаховом пространстве В функций (обычно непрерывных) на M или, в более общем случае, на пространстве сечений некоторого векторного расслоения.
Если M и / — гладкие, мы можем заменить g матричнозначной функцией g ¦ и в результате получить трансфер-оператор действу-
ющий на /-формы, причем СІ<Уі — исходный трансфер-оператор С.
Если M и / обладают свойством гладкости и график функции / транс-версален к диагонали Д С Mx М, естественно определить «след» (или «плоский след», см. Атья и Ботт [1], Гийемин и Стернберг [1]).
где Dx/ — производная функции /, действующая в касательном пространстве TxM. Естественность этого определения вытекает из того, что в локальных координатах в окрестности точки х мы имеем согласно теории распределений
(ядро ?(?, г]) определено так, что ?Ф(?) = J ?(?, г/)Ф(г?) drj).
Это определение естественным образом обобщается на трансфер-опе-
где Tr обозначает след оператора в конечномерном пространстве A1TxM. Тогда мы получаем таинственный результат
§ 9. Следы и определители
J ?(?, - v) dr) = J g(r))5(r) - f - rf) d?, dr) =
= J g(0s(?, - /_10 d?, = g(x)/1 det(l - DxJ-1)
раторы C1 с помощью формулы
198
Глава 8
(индекс Лефшеца L(x, /-1) достаточно просто связан с L(x, /) и во многих случаях равен единице).
С помощью «следов» Tr определим «детерминант» Det обычной формулой
СЮ
Det(I - zC) = ехр (- E С Tf С™) ¦
тп=1
Тогда мы получим
dimM
c(z)= п (Deta-z^))*"15 ,
I=о
где есть ("-функция Лефшеца. Различие между (х и ? не должно вызывать серьезного беспокойства: часто эти две функции довольно просто связаны. Серьезная проблема состоит в том, чтобы выражению Det(l — z!l!) придать смысл не формального степенного ряда, а аналитической функции, определенной в достаточно большой области. Здесь потребуется спектральная теория трансфер-операторов, и результат будет зависеть как от рассматриваемого класса динамических систем, так и от функционального пространства.
Обратимся теперь ненадолго к теории детерминантов Фредгольма, которые служат одним из хорошо понятых примеров функциональных детерминантов типа Det(I — zС).
§ 10. Целые аналитические функции
Стоит напомнить некоторые результаты, касающиеся целых аналитических функций.
Пусть целая аналитическая функция f(z) имеет нуль порядка то в точке 0 и пусть (oik) — последовательность других ее нулей, расположенных в порядке возрастания модулей, в которой каждый нуль повторен столько раз, какова его кратность. При А > 0 положим
S(X) = Y^rx
и определим показатель сходимости нулей ро формулой
Po = inf {А: 5(A) < +сю}.
§11. Теория Фредгольма-Гротендика 199
Если ро < -(-оо, мы называем родом функции / наименьшее целое р ^ О, для которого S(p + 1) < +оо (таким образом, р = [/%], если только ро не есть целое число ^ 1, в этом последнем случае р pi, 1). По формуле Вейерштрасса
к
P
где до = 0, gp(z) = E Zk/к и д — некоторая целая функция. к=1
Порядок р целой функции f(z) = E akZk определяется равенством р= Hm ——loglogmax \f(z)\ = Iim n^0Sn
г—>оо
Iogr \z\=r r^oo j log |а„||'
Теорема 10.1. Всегда справедливо неравенство
Po =? P
и в случае, когда р < оо, функция g в (10.1) — многочлен степени < р, причем ро = р, если только р не есть целое число ^ 1.
§11. Теория Фредгольма-Гротендика
(Cm. Гротендик [1], [2].)
Если Ei, ..., En — банаховы пространства, то норма || • Ці на ^Ei определяется равенством
IImIIi =inf E IIlilII ’ II1i2II ’' ’ N«11’
г
где нижняя грань берется по всем представлениям
и = Xg ® Xj2 ® ® Xin.
І
Пополнение произведения ®Еі по этой норме есть есть банахово пространство <S)Ei (проективное тензорное произведение пространств Ei). Гротендик назвал элементы этого пространства фредгольмовыми ядрами.
200 Глава 8
Если Е, F — банаховы пространства и E1 — пространство, сопряженное к Е, то существует каноническое отображение E'®F —> С(Е, /), определение которого очевидно. Оно не увеличивает норму4. Образ и Є С(Е, /) элемента и Є E'®F называется ядерным оператором, переводящим EbF. Всякий такой оператор компактен. В частности, образ пространства E'®F есть идеал в C(E). Всякий элемент и Є E.F можно записать в виде сходящегося ряда
СЮ
и = Y^ixi ® Уі,
і=I
где Xi Є Е,УІ Є F, Il Xi\\ =? 11 Уг 11 =? I, Aj > 0 и ^Ai =? ||w||i + є для как