Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рюэль Д. -> "Термодинамический формализм" -> 54

Термодинамический формализм - Рюэль Д.

Рюэль Д. Термодинамический формализм — Ижевск, 1995. — 281 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriteciskieformati1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 84 >> Следующая


xGFi х/

смысл, если множество Fix/ конечно) является гомотопическим инвариантом.

Число Лефшеца отображения / определяется равенством

dim M

нл= Y (—1^r/**,

г=0

где /** — автоморфизм, который / индуцирует на группе Hi(M, Q) «-мерных (сингулярных) гомологий с рациональными коэффициентами. Отсюда вытекает формула следа Лефшеца

Y L(x,f)=A(f).

ж Є Fix /

Введем дзета-функцию Лефшеца

сю

Ф)=exp Y in Y L(x' fm)

т=I a^Fix/™

(предполагается, что множество Fix/™ конечно при всех то). Тогда

СЮ

c(z) = ехР Y hrY^1)41^ =

т=1 г

= nh>« E w/:?]'"’1 = П I**(1 - ‘Mt""' ¦

і m=l г
§5. Формула Лефшеца 191

Как мы видим, эта функция рациональна и допускает гомологическую интерпретацию.

Пусть х — гиперболическая периодическая точка минимального периода р (это значит, что Dxfp не имеет собственных чисел Ac |А| = 1) и Eu — подпространство, отвечающее собственным значениям А дифференциала Dx fp с IА > 1. Обозначив через 7 = {х, ..., fp 1х} орбиту точки х, положим и(7) = AimEu и будем писать Д(7) = ±1 в зависимости от того, сохраняет Dfp ориентацию в Eu или меняет ее. Следуя Смейлу [46], заметим, что

L(x, fpq) = (-1)u^A(7)3.

Значит, если все периодические точки преобразования / — гиперболические, мы имеем продакт-формулу

Ф)=ехр E E (-i)u(7)EirAMe =

P 7ЄРег(р) q

= п П [1-д<чи(-,г',н' =

P 7ЄРЄГ (р)

г -1(-1)"ы+1

= П[1-А(7)^)]

7 ЄР

Заметим, что в голоморфном случае Д(7) = 1, и(7) — четное число и ((z) сводится к ?(z).

Теперь естественно определить динамическую дзета-функцию Лефшеца по формуле

сю т — 1

c(z) = ехр Еж E L(x> tr П

т=1 x?Fix. Jrn к= О

В общей ситуации имеет смысл попытаться свести изучение динамической дзета-функции к изучению дзета-функции Лефшеца (последняя в некотором смысле более естественна и ее легче анализировать).

Чтобы достичь успеха и, в частности, исследовать сходимость формальных степенных рядов, определяющих C(z), нам придется выбрать конкретный класс динамических систем и функциональное пространство, из которого берутся весовые функции <р. Оказывается, что возможны и интересны разные способы сделать такой выбор. Ho это в то же время означает,
192

Глава 8

что теория динамических дзета-функций имеет тенденцию распасться на ряд отдельных ветвей: все они связаны друг с другом, но различны, и объединяющая их теория отсутствует. В гл. 9 излагается одна из таких «специальных ветвей», где / предполагается кусочно-монотонным отображением отрезка. Чтобы приобрести более широкий взгляд на предмет, в этом месте имеет смысл остановиться на истории дзета-функций.

§6. Исторические замечания: от дзета-функции Римана к динамическим дзета-функциям

Для вещественного S > 1 положим

сю

П и-г>“Т‘-

п=1 р—простое

Эта продакт-формула была открыта Эйлером в XVIII веке, но подробное аналитическое исследование функции С было проведено Риманом в XIX веке, отсюда и ее название — дзета-функция Римана.

При всяком целом то классы вычетов п по модулю то целых чисел п с (п, то) = I2 образуют мультипликативную группу Пусть х — характер этой группы; для любого целого п будем писать х(п) = х(^)> если (п, то) = = 1, и х(п) = 0, если (п, то) ф 1. Формула

Hs7 x) = Y = П (1 “ X(P)P-sV1 ¦

71=0 P

определяет L-функцию Дирихле.

В дальнейшем были определены другие функции, аналогичные дзе-та-функции Римана и /",-функции Дирихле. Часто эти функции вводились ради теоретико-числовых приложений и, как правило, обладали следующими свойствами3:

(І) Мероморфность на всей комплексной плоскости [положение полюсов и нулей было первым предметом изучения: дзета-функция Римана имеет простой полюс в точке s = 1 и простые нули при s = —2, —4, ..., —2п, .. .

2 (га, т) — обозначение для наибольшего общего делителя чисел га и т. — Прим. ред.

3Cm. статью «Zeta functions» в математическом энциклопедическом словаре Сугаккаи [1] (см. также аналогичную статью в «Математической энциклопедии», т. 2, стр. 112-119, М., 1979. — Прим. ред.)
§ 6. От дзета-функции Римана к динамическим дзета-функциям 193

(тривиальные нули), а согласно гипотезе Римана, все остальные нули лежат на прямой Re s = 1/2 (нетривиальные нули)].

(ii) Представление в виде ряда Дирихле E arae_A”s.

П

(iii) Представление в виде произведения Эйлера.

(iv) Функциональное уравнение [для дзета-функции Римана, если мы

положим ?(s) = 7T-s/2r^^?(s), функциональное уравнение будет иметь

вид ?(s) = ?(1 - я)].

Пусть к — конечное поле, состоящее из q элементов, и V — несингулярное проективное алгебраическое многообразие размерности п, определенное над к (заметим, что координаты точек V принадлежат алгебраическому замыканию поля к, но коэффициенты уравнений, определяющих V, принадлежат самому к). Если Nm — число точек многообразия V, координаты которых лежат в расширении степени то поля к, можно определить дзета-функцию многообразия V, положив

СЮ

у ~ТГ1

Z(z, V) = exp Y NmJn-

т=I

Заметим, что

Nm = card Fix Fm,

где F — морфизм Фробениуса, заменяющий точку с координатами (хі) точкой (ж®). Несколько гипотез о свойствах Z(z, V), высказанных Вейлем, привели к циклу работ Вейля, Дворка, Гротендика и других; полное доказательство в конце концов дал Делинь. Было обнаружено, что Z(z, V) — рациональная функция от z:
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed