Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
xGFi х/
смысл, если множество Fix/ конечно) является гомотопическим инвариантом.
Число Лефшеца отображения / определяется равенством
dim M
нл= Y (—1^r/**,
г=0
где /** — автоморфизм, который / индуцирует на группе Hi(M, Q) «-мерных (сингулярных) гомологий с рациональными коэффициентами. Отсюда вытекает формула следа Лефшеца
Y L(x,f)=A(f).
ж Є Fix /
Введем дзета-функцию Лефшеца
сю
Ф)=exp Y in Y L(x' fm)
т=I a^Fix/™
(предполагается, что множество Fix/™ конечно при всех то). Тогда
СЮ
c(z) = ехР Y hrY^1)41^ =
т=1 г
= nh>« E w/:?]'"’1 = П I**(1 - ‘Mt""' ¦
і m=l г
§5. Формула Лефшеца 191
Как мы видим, эта функция рациональна и допускает гомологическую интерпретацию.
Пусть х — гиперболическая периодическая точка минимального периода р (это значит, что Dxfp не имеет собственных чисел Ac |А| = 1) и Eu — подпространство, отвечающее собственным значениям А дифференциала Dx fp с IА > 1. Обозначив через 7 = {х, ..., fp 1х} орбиту точки х, положим и(7) = AimEu и будем писать Д(7) = ±1 в зависимости от того, сохраняет Dfp ориентацию в Eu или меняет ее. Следуя Смейлу [46], заметим, что
L(x, fpq) = (-1)u^A(7)3.
Значит, если все периодические точки преобразования / — гиперболические, мы имеем продакт-формулу
Ф)=ехр E E (-i)u(7)EirAMe =
P 7ЄРег(р) q
= п П [1-д<чи(-,г',н' =
P 7ЄРЄГ (р)
г -1(-1)"ы+1
= П[1-А(7)^)]
7 ЄР
Заметим, что в голоморфном случае Д(7) = 1, и(7) — четное число и ((z) сводится к ?(z).
Теперь естественно определить динамическую дзета-функцию Лефшеца по формуле
сю т — 1
c(z) = ехр Еж E L(x> tr П
т=1 x?Fix. Jrn к= О
В общей ситуации имеет смысл попытаться свести изучение динамической дзета-функции к изучению дзета-функции Лефшеца (последняя в некотором смысле более естественна и ее легче анализировать).
Чтобы достичь успеха и, в частности, исследовать сходимость формальных степенных рядов, определяющих C(z), нам придется выбрать конкретный класс динамических систем и функциональное пространство, из которого берутся весовые функции <р. Оказывается, что возможны и интересны разные способы сделать такой выбор. Ho это в то же время означает,
192
Глава 8
что теория динамических дзета-функций имеет тенденцию распасться на ряд отдельных ветвей: все они связаны друг с другом, но различны, и объединяющая их теория отсутствует. В гл. 9 излагается одна из таких «специальных ветвей», где / предполагается кусочно-монотонным отображением отрезка. Чтобы приобрести более широкий взгляд на предмет, в этом месте имеет смысл остановиться на истории дзета-функций.
§6. Исторические замечания: от дзета-функции Римана к динамическим дзета-функциям
Для вещественного S > 1 положим
сю
П и-г>“Т‘-
п=1 р—простое
Эта продакт-формула была открыта Эйлером в XVIII веке, но подробное аналитическое исследование функции С было проведено Риманом в XIX веке, отсюда и ее название — дзета-функция Римана.
При всяком целом то классы вычетов п по модулю то целых чисел п с (п, то) = I2 образуют мультипликативную группу Пусть х — характер этой группы; для любого целого п будем писать х(п) = х(^)> если (п, то) = = 1, и х(п) = 0, если (п, то) ф 1. Формула
Hs7 x) = Y = П (1 “ X(P)P-sV1 ¦
71=0 P
определяет L-функцию Дирихле.
В дальнейшем были определены другие функции, аналогичные дзе-та-функции Римана и /",-функции Дирихле. Часто эти функции вводились ради теоретико-числовых приложений и, как правило, обладали следующими свойствами3:
(І) Мероморфность на всей комплексной плоскости [положение полюсов и нулей было первым предметом изучения: дзета-функция Римана имеет простой полюс в точке s = 1 и простые нули при s = —2, —4, ..., —2п, .. .
2 (га, т) — обозначение для наибольшего общего делителя чисел га и т. — Прим. ред.
3Cm. статью «Zeta functions» в математическом энциклопедическом словаре Сугаккаи [1] (см. также аналогичную статью в «Математической энциклопедии», т. 2, стр. 112-119, М., 1979. — Прим. ред.)
§ 6. От дзета-функции Римана к динамическим дзета-функциям 193
(тривиальные нули), а согласно гипотезе Римана, все остальные нули лежат на прямой Re s = 1/2 (нетривиальные нули)].
(ii) Представление в виде ряда Дирихле E arae_A”s.
П
(iii) Представление в виде произведения Эйлера.
(iv) Функциональное уравнение [для дзета-функции Римана, если мы
положим ?(s) = 7T-s/2r^^?(s), функциональное уравнение будет иметь
вид ?(s) = ?(1 - я)].
Пусть к — конечное поле, состоящее из q элементов, и V — несингулярное проективное алгебраическое многообразие размерности п, определенное над к (заметим, что координаты точек V принадлежат алгебраическому замыканию поля к, но коэффициенты уравнений, определяющих V, принадлежат самому к). Если Nm — число точек многообразия V, координаты которых лежат в расширении степени то поля к, можно определить дзета-функцию многообразия V, положив
СЮ
у ~ТГ1
Z(z, V) = exp Y NmJn-
т=I
Заметим, что
Nm = card Fix Fm,
где F — морфизм Фробениуса, заменяющий точку с координатами (хі) точкой (ж®). Несколько гипотез о свойствах Z(z, V), высказанных Вейлем, привели к циклу работ Вейля, Дворка, Гротендика и других; полное доказательство в конце концов дал Делинь. Было обнаружено, что Z(z, V) — рациональная функция от z: