Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
4.13. Ограничение Z" на подгруппу G
Пусть G — подгруппа конечного индекса в Z" (в этом случае G изоморфна Z") и (Zix, Qq, (Ол, )
Л'є^') — ZI/-pcniCT4aTaH система. Выберем множество M(0) С Zix так, чтобы оно содержало по одному элементу из каждого смежного класса Z" mod G и положим M(х) = M(0) + х, х Є G. Семейство (M(x)) G является разбиением множества Z", и конструкция примера 2.2 приводит к изоморфизму
F: (bv, Qq, (Ол/)л,є5г/ ) (G, О'М(0), (Ол)лє^)-
(Заметим, что этот изоморфизм не является Z''-морфизмом, если G ф Z".) Будем говорить, что G-решетчатая система (G, С1'М(0у (Од)лє^) получена
ИЗ (Z1^, Og, (0д/)л'Є5Г/) ограничением на подгруппу G. Этот объект определен однозначно с точностью до G-изоморфизма вследствие произвола в выборе множества M(O).
4.14. Предложение
Предположим, что Ф' Є S§(Z", Og, (Од/)л'є^') и Ф'* = (.Р_1)*Ф' (мы определяем (F^1)x как отображение ограничения С1'м^ O^ при
х Є M(а)). Тогда Ф'* є S$(G, (Ол)лє^) и
(a) если а — любое tq-инвариантное состояние на О, то
а(Афі* о F) = тха(Афі);
XGM(O)
(b) давление для взаимодействия Ф'* и группы G вычисляется по формуле
Рф'* = |М(0)|Рф'; аналогично, если А — непрерывная действительная функция на О', то
Р( АотХ °Р~г) = \М(0)\Р(А).
XGM(O)
92
Глава 4
Включение Ф'* Є ¦/> следует из оценки нормы в параграфе 2.3 и G-инвариантности взаимодействия Ф'*.
По определению
т = - Е* ((^_1)*фо (п\х) =
Xe G
= -Е* E ф/№)-
XCGX' -. {a€G: Х'ПМ(а)ф0}=Х
Для каждого конечного множества Y' С Z" и каждого х Є Af(O) в правой части этого равенства присутствует в точности один сдвиг X' множества Y' + х на элемент группы G. Поэтому справедливо (а).
Утверждение (Ь) вытекает из вариационного принципа для P (теорема 3.12), утверждения (а) и следующих легко проверяемых фактов:
(I) энтропия меры сг относительно G равна энтропии меры тхо и,
следовательно, энтропии меры o' = |М(0)|-1 тхо относительно G;
XGM(O)
(II) энтропия меры сг' относительно группы G равна энтропии этой меры относительно rLly, умноженной на |М(0)|.
4.15. Неразрешимость и непериодичность
Приведем некоторые любопытные факты, касающиеся Ж^-решетчатых систем (подробное изложение утверждений (а)-(с) см. в Робинсон [1]).
(a) Обозначим через множество двухточечных подмножеств решетки Zix, состоящих из ближайших соседей (см. следствие 4.10(b)). Зададим конечное множество 0ц и трансляционно-инвариантное семейство (Од)лє^; гДе С (Оо)л. Тогда проблема выяснения, определяют ли эти данные непустое пространство конфигураций
О = Є [Clof2: (VA Є 9') ?|Л Є Од}
алгоритмически неразрешима (см. Бергер [1]).
(b) Среди ^-решетчатых систем, описанных в пункте (а), найдется такая, в которой нет периодических конфигураций: если ? Є О и т“? = ?, то a = 0. Соответствующий пример с |Оц| = 56 и нулевой топологической энтропией (см. § 6.20) построен Робинсоном [1]. Существование Ж2-решет-чатой системы без периодических конфигураций служит составной частью доказательства свойства неразрешимости, упомянутого в пункте (а), и, в свою очередь, следует из этого свойства.
Библиографические указания
93
(c) Робинсон [1] построил систему того же типа с |Г2о| = 36, для которой неразрешима следующая проблема продолжения: для произвольного конечного Л С Z2 и для ? Є Сіл выяснить, существует ли такое ?* Є Cl, что ?*|Л = ?.
(d) Пусть K(I) = {х Є Z2: |xi| ^ I, |хг| ^ /}. Используя Z2-pe-шетчатую систему из (с), определим наименьшую функцию F: N —> N со следующим свойством: элемент ? Є Сїк(і) продолжается до некоторого Є Cl тогда и только тогда, когда он может быть продолжен до некоторого ?** Є Cl к Вследствие неразрешимости проблемы из пункта (с) функция F невычислима. В частности, она очень быстро возрастает. Таким образом, хотя условия ?|Л Є Cl\ наложены лишь на множества, Л Є 3*', образованные парами соседних точек, влияние этих условий распространяется на очень большие расстояния.
Библиографические указания
Добрушин [2] показал, что трансляционно-инвариантные гиббсовские состояния являются равновесными состояниями. Обратное установили Лэн-форд и Рюэль [1]. Эквивалентность этих двух понятий, занимающая центральное место в статистической механике, является основным результатом настоящей главы. В качестве приложения мы доказали, следуя Гриффитсу и Рюэлю [1], теорему о «строгой выпуклости давления». Оставшаяся часть главы посвящена общим результатам, касающимся морфизмов, совместимых с действием группы Z".
4.16. Упражнения
1. Пусть Al, А2 € *йд, где А — конечное множество. Предположим, что существует сто Є I, для которого cro[Ai ¦ (А2 ° тх)] не имеет предела при ;/' < ос. Показать, что тогда для некоторого взаимодействия Ф Є {Ш най-
дется такое эргодическое равновесное состояние <т, что и (Al ¦ (А2 от1)) не имеет предела при х —> оо. Отсюда, в частности, следует, что и не является чистым гиббсовским состоянием для взаимодействия Ф. (Cm. Израэль [1], теорема 5. Положим
^ = (bX-A-I ¦ (М °тх) +Ь-х(Аі отх) -A2): Ъх Є К, ^ \ЪХ \ < ooj
