Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть 0 Є M С Ziy, Al конечно и Al = —М. Предположим, что функция ф: M \ {0} н-> R удовлетворяет условиям ф(х) = ф(—х) и
\ Y W{x) - ^о(х)\ < 8.
хЄМ\{ 0}
Тогда функцию ф можно продолжить до : Z" \ {0} ^Rh найти такое
ЧТО If (х) = lf(—x), f (х) ^ fo(x) при X ф М,
їм - мо| + \ Y - < ?
х
и для взаимодействия Ф существуют два равновесных состояния а' и а" с сг'(А) ф о'г(А). (Повторите доказательство теоремы 3.20, используя лемму 3.19 с S = Ziy \ М. Заметим, что
Tnp(S2)=Yim р(|Л|“2 Y^ (А о тх) ¦ (А о ту)^.
X, t/ЄЛ, х — у^М
Замечание: Можно показать (см. упражнение 2 к главе 4), что Ф и Фо физически эквивалентны только при fj, = fj,Qiiif = ifQ.)
Глава 4
Связь между гиббсовскими и равновесными состояниями
В этой главе устанавливается связь между гиббсовскими состояниями и равновесными состояниями, введенными в предыдущих главах.
4.1. Основные предположения
Мы будем использовать общие предположения глав 1 и 3. Будем считать, таким образом, что задано семейство (Од)лє^> инвариантное относительно сдвигов, и что для любого S С Ziy определено множество
= {^е П°ж: (VAe^: AC 5)Є|АєПЛ}.
x(^S
Введем банахово пространство SS трансляционно-инвариантных взаимодействий с нормой
Цф|| = E sup |Ф(?)| < °°-
хэо^еПх
Очевидно, S^o С 2ё С si. Определим отображение ip: 2ё cS, положив ірФ = Аф. Множество ір?$ плотно в '(! и отображение ip непрерывно:
|Ф|| > |Ф| > ||Аф||.
Поэтому утверждения (с) и (d) теоремы 3.7 справедливы при X = Sk.
Если Ф Є SS, то для Ф определены множество Кф гиббсовских состояний и множество IlpФ равновесных состояний. Мы увидим, что І^рФ С Кф П I. Обратного включения Ar-ф D Кф П I, вообще говоря, нет, но оно справедливо, если пространство SI удовлетворяет следующему условию:
(D) Существуют такие последовательности множеств (An) и (Mn), что Kn Z оо, An С Mn, |Ап|/|Мга| —> 1 и для любых ?, г) Є О и п найдется Qn Є О, для которого
Cu|Л„ = ?|Л„, CnKZ" \ Mn) =I1KrLv \ Mn).
82
Глава 4
Заметим, что это условие сильнее, чем условие (D*) из замечания 1.14. При v=l оба они сводятся к условию «перемешивания» (см. главу 5).
4.2. Теорема
Если Ф Є S&, то 1аф С Кф ПI. Если, кроме того, пространство Cl удовлетворяет условию (D), то іаф = Кф П I, т. е. инвариантное состояние является равновесным тогда и только тогда, когда оно — гиббсовское.
Если Ф Є siо, то гиббсовский ансамбль с граничным условием г)
зависит только от 771 (М\Л), где M = Л+Д — некоторое конечное множество (множество Д зависит от Ф и семейства .>). Пользуясь определением (3.33) из доказательства теоремы 3.12, можно проверить, что
«ш= E М(Л)ч{С}/5М\л{??}-»?ЄПм\л
Отсюда следует, что состояние рф, определенное при помощи равенства Pa = С(лрФ, является гиббсовским состоянием. С другой стороны, из дока-зательстватеоремы 3.12 видно, что рф G 1рф. Таким образом, рф Є І^фПКф в случае, когда Ф Є sd0.
Пусть теперь Ф Є Ip-1D, Ф = Iim Ф„, Ф„ Є si0. Тогда любая предель-
п—> OO
ная точка последовательности мер рФп, п —> сю, содержится в Ivф = {/зф}, а также в Кф. Тем самым, при Ф Є <p-1D существует рф Є Ilpф П Кф.
Для произвольного Ф Є SS из теоремы 3.7 (d) следует, что совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой состояний р Є Кф П I. Значит,
Iv ф С Кф П I.
Предположим теперь, что пространство Cl удовлетворяет условию (D). Нужно доказать, что если а Є Кф П І, то а Є Ivф. Мы докажем несколько более общее утверждение, а именно, что если сг Є Кф, то
Iim IMnI-1 [S(aMn<r) - {aMn<j){Utin)] > РФ¦
TL—> CO
По определению гиббсовского состояния
{ам„сг){€} — J
и\Мп
4.3. Физическая интерпретация
83
а вследствие вогнутости энтропии
S(aMn<r) - [UMri(J)(Ufln) >
$>
'iZuXM
J сгz»\m„ (dr))[S(H(Mn)ri) — M(Mn)-T1(UMn)] =
J сгz"\M„(dr)) Yj М(мг,)чШх
“2 v\Mn
X [wM„,z-\M„UV77)+log Y ехР[_^м„(С) - WMn,z"\Mn(C v г))}
С
Поэтому
Iim IMnI-1 [S(aM„O') - (aMrl<j)(UtiJ] >
> Iim I Mn I 1 / <7Z -Wn(dV)'
n—>OO t/
“Z "XAZti
X log exp[-E/&„(C) - W7Mii, (С V 77)]. В силу условия (D) (при г) = i)*\(Z1' \ Mn) для некоторого г)* Є О)
Y ехр[-[/|/и(С) - Wm„,z-\m„(C V??)] ^ E exP^f7Arl (О + Rn],
СєПм„
где Iim IRn I /|М„ I = 0. Отсюда получаем
п—> OO
Iim |M„I-1^(QJmiiCt) - (ам„а)([/щл)] >
Tl—>00
> Iim |M„|_1 log V ехр[—Е/д (?) + Rn) = РФ¦
п—> оо ^ ,l
«ЄОЛ„
4.3. Физическая интерпретация
В случае, когда чистая термодинамическая фаза для взаимодействия Ф Є SS допускает нетривиальное разложение на чистые гиббсовские состояния, мы будем говорить, что имеет место нарушение симметрии или, точнее, что нарушается трансляционная инвариантность теории.
84
Глава 4
4.4. Предложение
Предположим, что выполнено условие (D) и Ф Є ?8, а Є Кф, С Є cS. Тогда
В силу плотности множества {Аф : Ф Є я/о} в cS и свойства равномерной непрерывности (см. (3.8)) достаточно рассмотреть случай С = Аф, где Ф Є я/о- В этом случае
где Rn/|Л„ —> 0 при п —> оо.
В самом деле, по определению состояния Гиббса (см. (1.14), (1.15))
