Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
S(CXAiUA2Cr) + S(ClAinA2Cr) — S(сїЛі Cr) — S(CXA2C) =
o‘cv{'v{"0-j o’cv^'O-jvc"
CGfiAinA2 С'Є^Лі\Л2 С"Є^Л2\Лі
= - X] I] I] CTjvC'vC" log
€
\ ' ra-cvc'0-cvc" _
< CT«vC'vC" [o^v^c -1J-СС'С" o-cvC'
- ~оФ~ 0^vC" _ °CvC'v?" - Y 0^vC' 1 ^
CC' С" СС'С" CC'
(чтобы избежать неопределенных выражений, можно в приведенных выше вычислениях сначала предположить, что o-?vc'vc" > О для всех ?, ?', ?", а затем перейти к пределу).
3.9. Предел на бесконечности в смысле ван Хова
Будем говорить, что конечные множества Л С Ziy стремятся к бесконечности в смысле ван Хова (и будем писать Л /1 оо), если |Л| —> оо и для любого а Є |(Л + а)\Л|
|Л| ^ °‘
Грубо говоря, это означает, что «граница множества Л» становится в пределе пренебрежимо малой по сравнению с Л.
3.10. Теорема
Если а Є I, то существует предел
s(cr) = Iim IAI^SYcxact) = inf IAI^SYcxao-).
AyS00 А
Функция s, называемая средней энтропией8, неотрицательна, аффинна и полунепрерывна сверху на I.
7Точнее — неубывающая. — Прим. ред.
8A также удельной энтропией. — Прим. ред.
3.10. Теорема 67
Если множества Л і и Л2 не пересекаются, то (3.22) превращается в
свойство субаддитивности:
-S1(CiA1UA2Cr) ^ S(CiA1Cr) + 5(ад2сг). (3.23)
Так как а Є I, справедливо равенство
^(«(Л+^О-) = S{aAa). (3.24)
Определив Л (а) так же, как в теореме 3.4, положим
s = inf |A(a)|-1S'(aA(a)Cr)- (3.25)
a
Для всякого є > 0 выбираем такое Ъ, что
|Л(6)|_15(аЛ(ь)0-) ^ s + ?,
Введем множество
ЖҐ(Ь) = {х Є Hj : Xi = щЬі, щ Є Z", г = 1, ..., и}.
Сдвинув Л(6) на все х Є Zv{b), мы получим разбиение множества Ziy. Пусть Л+ — объединение элементов этого разбиения, имеющих непустое пересечение с Л. Тогда Л+ D Л и |Л+|/|Л| —> 1 при А / оо. Так как S(aAa) — неубывающая функция множества Л, из (3.23), (3.24) следует, что
S{aAa) =? S{aA+a) =? s(aA(b)v) =? |A+|(s + є)
и, значит,
Iimsup |Л|_15(алсг) =? s + є. (3.26)
AytOO
Из (3.25) и (3.26) получаем
Iim |Л(а)|_15(ал(а)Сг) = s.
а—>• со '
Если х ?: к! D Л, то вследствие сильной субаддитивности энтропии (см. (3.22)) выполняется неравенство
SWuMO-) - S(aAcr) > ^(ал'иЫ^) “ S(aA>a), (3.27)
которое позволяет оценить, как возрастает энтропия, когда к множеству Л последовательно в лексикографическом порядке присоединяются новые
68
Глава З
точки. В частности, если Л фиксировано (с точностью до сдвига), а в качестве Л' берутся множества, последовательно возникающие при лексикографическом построении большого Л (а), то (3.27) справедливо для большинства таких Л'. Поэтому
S1(aAuiK)O-) - S(aAcr) > Iim |Л(а)|_15(о!л(а)0-) = s.
1 J а—>оо v '
Отсюда следует, что
S(aA&) ^ A|s
при всех Л. Из этого неравенства с учетом (3.26) получаем
Iim |Л|_15(алсг) = inf |Л|_15(ала') = s,
Л/оо л
что доказывает первое утверждение теоремы.
Неотрицательность s вытекает из аналогичного свойства S, а аффинность — из (3.21). Наконец, s полунепрерывна сверху функцией как inf непрерывных функций Cr IAI-1Sl(OiACr)-
3.11. Лемма
Пусть Ea — множество всех вероятностных мер на Од- Тогда
logZf = max [5(сгл) — сгл(С^л )]¦
стл Є Ел
Действительно, вследствие вогнутости логарифма
S(aA) — Cta(Ua ) = E ^A-Ujlog-—7^ ^ log ^
причем равенство справедливо тогда и только тогда, когда сгд{?} =
= (^)-^-^(0 = М(Л)ш.
Следующая теорема содержит вариант этого вариационного принципа для термодинамического предела Л /1 оо.
3.12. Теорема
Для всех А<^Чо
P(A) = max[s(er) + сг(А)], (3.28)
<7^1
причем множество точек максимума есть в точности Ia- Для всех а Є I sW) = ]nf [P(A) - v(M- (3.29)
AG тэ
3.12. Теорема 69
Сначала докажем, что
P(A) = sup[s(cr) + сг(А)] (3.30)
при А = Аф, где Ф Є si0. По лемме 3.11
Р(Аф) ^ s(а) + сг(Аф) для всех а Є I1 (3.31)
поскольку
а(Аф) = -^limo |Л(а)|_1(о!л(а)0-)([/л(а)). (3.32)
При помощи гиббсовских ансамблей Для взаимодействия Ф определим теперь меры
/>л,чЮ = |Л(аи)|-1 Y (аЛ+хР(Л(а„))){т~ХІ}.
X : Л+ссС A(a,t)
Легко видеть, что последовательность (ап) может быть выбрана так, что ап —> сю и для любого конечного множества А С Z" существует предел
PA = Iim PA п. (3.33)
Tl—> OO
Тогда единственное состояние р, для которого (\ д р = Pa при всех Л, принадлежит I и
s(p) = Iim \A(b)\-1S(pA(b)) =
Ь—> оо
= - Iim Iim |Л(6)|_1 V /OA(b),n{0logjOA(b),n{^} >
b—> оо п—J-oo z—' 4 у 4 у
^ Iimsuplimsup |Л(Ь)|_1|Л(аи)|_1 E S(aA(b)+xH'(A(a„))) ^
оо п^оо х: А(Ь)+хСА(а„)
> Iimsup Л(а„)|_15(/і(Л(а,1))) (3.34)
(на последнем шаге мы использовали (3.23) и тот факт, что существует |Л(6)| способов представить А(ап) в виде объединения сдвигов множества А(Ь) плюс кп точек, где fc„/|A(a„)| —> О при п —> сю). Из (3.34) получаем
ехр[—E/?, \(0]
з(р)+р(Аф)^ Iim \А(ап)\~1 ^ М(Л(а„))Ш loS------------777— =
М(Л(а„))Ш
= Iim Л(а„)|-1 log)=Р(Аф). (3.35)
п.—^no V 71 '
70
Глава З
Неравенства (3.31) и (3.35) доказывают (3.30) в случае, когда А = = АФ, Ф Є S^o- Так как обе части (3.30) непрерывны по А, то в силу плотности множества {Аф : Ф Є Si0] в Чо это соотношение справедливо при всех А Є Чо. Кроме того, энтропия s(a) полунепрерывности сверху, откуда следует, что sup в (3.30) достигается и имеет место соотношение (3.28). Докажем теперь (3.29). Из (3.28) мы уже знаем, что
