Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
где ZrhIi (() — нормирующая постоянная, а сумма, стоящая под знаком интеграла, вычисляется в соответствии с принятым ранее соглашением (см. § 1.5): если ?|Л„ V ?' V ( ? О, то отвечающее этому ?' слагаемое считается равным нулю. Из определения множества Mn следует, что в этой сумме обязательно есть ненулевое слагаемое. Аналогично записывается (ал„ ег){77|Ли}. Таким образом, левая часть (4.1) есть отношение двух
Iim —-Ц-Iogerfexp У Сот1) = Р(Аф + С) — Р(Аф) ?,—»00 IA.. V ' I
Из условия (D) следует, что для любых ?, г\ Є О
[(ал„0-Ж|Ли}]ехр[/|> (?|А„)
------------------------------ < с
[{aA„cr){ri\An}] exp Uf n (771 An) ^
(4-І)
(ал„0-Ж|Ли} = E (амп<т){(?,\Ап) V С'} =
Пь\мп ї'<=“м„\л„
^М,лл„ (О - , мп\а„ (тп) V ?,') - WM„, Ам„ ((Є|А„) V ?' V ?)]
S \Л
4.4. Предложение 85
интегралов, в каждом из которых подынтегральная функция положительна при всех ( Є ¦ Отношение этих подынтегральных функций не
превосходит числа
Гп = I^Mr, \Л„ I ехр( sup (O-W7ArilMrAAr, ((CIAt1)VC')] +
+ sup [—Wm„ , L\M„ (С)] — inf [~им„\лЛ?')-
-Wa„,m„\a„ ((C|A„)VО] - inf (С)]), (4-2)
которое мы сейчас оценим.
Зафиксировав произвольное є > О и пользуясь конечностью нормы ||Ф||, подберем конечное множество Ає, для которого
E suP 1ф(6г)1^?
XcL: OexglAs
(здесь и ниже множество X предполагается конечным). Тогда для любого С Є О
1^мг,,ь\млсж E [ E іф(сі*)і+ E іф(сі*)і]+
XGA77 XdL: х^Х(ТА.є-\-х хсL-. хєхсДє+^.
ХГ(Ь\Мп)ф0
+ E E іф(сі^)і ^
xGM„\A„ XcL: хЄХ
=? є|АиI + IФ11 (IMn \ Л„| + \{x Є Kn : (Дє + х) П (L \ Mn) ф 0}|) ^
=? ЄІ Атг І + 11 Ф11 {\Мп \ Л„| + |((Аті + у) \ Kn) — у\j ^
2/ЄДе
=? є|Ли| + ІФ11 ^ |(Л„ + у) \ Л„| + I Mn \ Л„| j.
2/ЄДе
Ясно также, что
І^мдл.ДО + Wa„,m„\a„((?Ia») V O ^ IMn \Л„| • ЦФЦ
при всех ?' Є Clм„\А„ • Отсюда, пользуясь условием (D) и тем, что Kn /* сю в смысле Ван Xoва (см. § 3.9), получаем
Iim |A„|_1(sup|WM„,l\m„ (С)| + sup 1? \Л„(С')|) = O- (4-3)
vCen ЄєоМіДЛп J
Тем самым (см. (4.2)), rn = expRn, где Д„/|Л„| —> сю при п —> сю, и мы приходим к (4.1).
86
Глава 4
Поменяв ролями ? и rj, убеждаемся, что дробь в левой части (4.1) оценивается снизу величиной е-Л". Полученную двустороннюю оценку преобразуем так, чтобы в средней части осталось (ал„ст)(г?|Ли), а затем просуммируем по 77|Лга. Пользуясь тем, что ст — вероятностная мера, получаем (см. (1.11))
Пусть заданы представление т группы Ziy гомеоморфизмами компактного метризуемого пространства О, т-инвариантная вероятностная мера сто и непрерывная действительная функция А на О. Для любого конечного Л С Ziy положим
Синай [4] предложил (для v = 1) называть гиббсовским состоянием любой предел при Л —>• Uj семейства мер
аЄЛ
принадлежит множеству Кф+ф.
Это утверждение легко доказать при помощи методов главы 1; см. также упражнение 4 из этой главы.
е Л,‘М(л„){?л,Л =? (ал„ст){?л,Л =? ел>(л„){б\„},
откуда следует, что
Предложение доказано.
4.5. Замечание
zI 1IexP^ A(TaO]ao(dO-
?ї?Л
С этим определением связан следующий результат.
Пусть Ф, Ф Є SS и а Є Кф. Для конечного Л С Ziy положим
Тогда любой предел при Л —> Ziy мер
Z*K 1 exp 'Y °та а
4.6. Строгая выпуклость давления
87
4.6. Строгая выпуклость давления
Из теоремы 3.4 мы знаем, что функция Ф Рф = Р(Аф) непрерывна и выпукла на SB. Предположим, что ее график содержит прямолинейный интервал, т. е. существуют такие функции Ф, Ф Є SS, Ф ф 0, что
Рф+№ = Рф + Ct при t Є [-1, 1].
Из теоремы 3.7 следует, что если р — равновесное состояние для Ф, то оно служит также равновесным состоянием для Ф + ?Ф при / < 1. Ho тогда р — гиббсовское состояние для Ф + W при \t\ ^ 1. Так как выражение
J Рь\лЦ?)мЖФ{?л}
^ь\л
вещественно-аналитично по I и постоянно при / < 1, оно постоянно при всех действительных t. Отсюда следует, что р — гиббсовское состояние для Ф + ІФ при всех действительных t. Если выполнено условие (D), то по теореме 4.2 р — равновесное состояние и, значит,
max[s(<r) + <т(Аф) + іст(Аф)] = s(p) + р(Аф+4ф) = Рф + ct
(ТЄІ
при всех t Є R. Это означает, что сг(Аф) = с при любом сг Є I или сг(Аф —
— с) = 0 для всех трансляционно-инвариантных мер а на пространстве ІІ. Поэтому Аф — с принадлежит замкнутому подпространству Sf С cS, порожденному элементами Aora-A, где А Є cS, а є Z".1 В итоге мы приходим к следующему утверждению.
4.7. Предложение
Пусть отображение if: SS і—> cS определено равенством срФ = Аф и пусть — замкнутое подпространство в с€, порожденное элементами
1 Действительно, предположив, что Аф — с <(_ $, определим на подпространстве J%, натянутом на и Аф — с, линейный функционал I по формуле 1(В + 7(Аф — с)) = 7, В є $, 7 Є Ж. Будучи равным нулю на У, этот функционал трансляционно-инвариантен. По теореме Хана-Банаха (см. приложение А.3.2) I = L|J%, где L Є . По теореме Рисса - Маркова L = сг+ — сг~, где сг+, сг- —конечные положительные меры на Q. При этом сг+/сг+(Г2) Є I и сг+ (Аф — с) ф 0, что противоречит доказанному выше. — Прим. ред.
