Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
жЄХ" xGS
94
Глава 4
и будем действовать, как в лемме 3.19. Это даст нам состояние а1 (не обязательно эргодическое) с требуемым свойством. В его эргодическом разложении найдется состояние а с тем же свойством, которое, в силу теоремы 1.11, не является чистым гиббсовским состоянием.)
2. Предположим, что §¦ = 0, т. е. fi = (JIq)1 . Пусть Sf0 С Sfi — подпространство таких взаимодействий Ф, что
^((Vtl)=O
йепА
для всех пар непересекающихся конечных множеств Л, Al и всех г/ Є fiw-Если fio = {0, 1}, то пусть Sf \ С Sfi — подпространство таких взаимодействий Ф, что Ф(?|Х) = 0 во всех случаях, кроме одного, а именно, когда Sx = 1 при всех ж Є Л. Доказать для Sf = Sf0 и Sf = Sf\ следующие утверждения.
(a) Если сг — общее гиббсовское состояние для Ф, Ф' Є Sf, то Ф = Ф'.
(b) Если взаимодействия Ф, Ф; & физически эквивалентны, то Ф = = Ф'.
(c) Ограничение P на Sf строго выпукло.
(Cm. Гриффитс и Рюэль [1]. Чтобы доказать утверждение (а), заметим, что в силу замечания 1.14 supper = fi. Так как а является гиббсовским состоянием, отношение
ехр[—[7Л(60 - Wa, г-\л(?л v v)\
ЄХр[-г7л(?л) - W7A1Z-VY^A V г/)] ’
где S, S' Є На, V Є fiz"\A> одинаково для взаимодействий Ф и Ф'. В случае подпространства Sf = Sf0 определим для конечного X «частичный след» Tx: —> с€х равенством
(TxA)(S) =JimJfiMvfI-1 E
Используя отображение Ta, можно показать, что разность Ua(Sa) — Ua(Sa) одинакова для ФиФ'. Отсюда индукцией по |Х| получаем Ф|Г2х = f^Jfix-В случае Sf = Sfі, взяв г/, для которого г\х = 0 при всех х Є Z" \ Л, опять приходим к заключению, что разность Ua(Sa) — Ua(Sa) для взаимодействий ФиФ' — одна и та же, откуда получаем Ф|Г2х = Ф'^х- Для доказательства утверждений (Ь) и (с) см. § 4.7.)
Упражнения
95
3. Пусть Г2о = {О, 1}. Предположим, что если для некоторого конечного Л С rLv элемент ? Є (?)2 удовлетворяет условию ?|Л Є и ?ж = О при ;/¦ <f Л, то ц С Q. Показать, что результаты упражнения 2 с -У\
можно обобщить на такую Ж^-решетчатую систему (она называется «решетчатым газом с твердой сердцевиной»).
Глава 5 Одномерные системы
Теория гиббсовских состояний на «решетке» Z" лучше всего понята в одномерном случае (при v = 1), к изучению которого мы приступаем. Z-решетчатая система (Z, Оо, (Од)лє^) называется также подсдвигом конечного типа. Заметим, что теперь та можно рассматривать как а-ю степень «сдвига» г = T1.
Переходя к Z-изоморфной системе (см. следствие 4.10(b)), мы можем предположить, что состоит из двухточечных множеств {х, х + 1}. Пусть t — квадратная матрица, индексированная множеством Oo х Oo, с элементами _
^ _ Г 1, если (г, j) Є 0{Ж Ж+1},
13 [О, если (г, j) ? 0{Ж;Ж+1}.
В таком случае ? Є (Oo)z является элементом множества О, если и только если
r+i = 1 при всех ieZ.
В дальнейшем будет удобно использовать для этой Z-решетчатой системы обозначение (?, t). Мы будем предполагать, что при любом і Є Ho существует ? Є О, для которого ?о = *•
Будем говорить, что Z-решетчатая система является транзитивной, если г действует на О топологически (+)-транзитивно1, т. е. если для любых двух непустых открытых множеств U, V С О и любого 0 найдется
такое п > N, что U П TnV ф 0. Транзитивность системы (?, t) эквивалентна выполнению следующего условия: для любых г, j Є Oo найдется такое целое а > 0, что (ta)ij > 0.
Будем говорить, что Z-решетчатая система является перемешивающей, если действие г на пространстве О топологически перемешивает, т. е. если для любых двух непустых открытых множеств U, V С О найдется такое N > 0, что U П TnV ф 0 при всех п > N. Для системы (Оо, t) перемешивание эквивалентно существованию такого целого а > 0, что (ta)ij > 0 при всех г, j Є Oo-
1Cm. приложение А.2.
5.1. Лемма
97
Пусть SSi = S§i(Z, По, (Пд)лє^) — банахово пространство трансляционно-инвариантных взаимодействий с нормой
|Ф||і = |Ф| + |ф|ь (5.1)
где
Іф|і = E sup |Ф(01 < 00 (5-2)
и diamjxi, ..., xi} = Xi — x\, если x\ < ... < ац. Заметим, что S§i C S§
и (I • ||i ^ Il • И (см. также ниже замечание 5.17).
Пусть R С {х Є Z: х < a}, S С (i ? Z: і ) а}. Если Ф Є S§i, то
сумма Wr^s корректно определена даже для бесконечных множеств R, S; при этом
iw^(?)k E |фда)і<|ф|і- (s-з)
X; ХПКф0.
X П S ф 0
5.1. Лемма
Если F: (Z, Qq, (Ол,)л'є5г/) (? Jlo5 (^л)лє^) является Ъ-мор-
физмом и Ф Є S§i(Z, П0, (Г2л)ле^)- то ^ S§i(Z, Qq,
и отображение F* непрерывно.
Из параграфа 2.3 следует, что
IF-ФІ < |М(0)| - |Ф|,
и, аналогичным образом,
|^*Ф|і < |М(0)| • [(diamM(O)) • |Ф| + |Ф|і].
Нижеследующие теоремы 5.2 и 5.3 показывают, что изучение гиббсовских состояний для Z-решетчатой системы с взаимодействием Ф Є S§i сводится к изучению гиббсовских состояний для перемешивающих Z-pe-шетчатых систем.
5.2. Теорема
Для всякой Ъ-решетчатой системы (Z, Hq, (Г2д)лє^) существует конечное число транзитивных систем (Hq* \ t^) и инъективных Ъ-морфиз-мо в
F^ : (^а), *(“)) ^ (Z, П0) (Ол)лЫ
98
Глава 5
таких, что
(a) образы не пересекаются',
