Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рюэль Д. -> "Термодинамический формализм" -> 18

Термодинамический формализм - Рюэль Д.

Рюэль Д. Термодинамический формализм — Ижевск, 1995. — 281 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriteciskieformati1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 84 >> Следующая


Р ASoo

|Л|-’1>

жЄЛ

где А — функция на I, заданная равенством А(а) = а (А) (см. приложение А.5.6). Поэтому инвариантное состояние р эргодично, если и только если

Iim р

Л /1OO

Ar1^Aor-J j =[p{A)f

жЄЛ

для всех Это свойство называется слабым кластерным свойством.

Его физическая интерпретация будет обсуждаться в параграфе 3.15.

3.7. Теорема

Пусть АєЧоиІлСЧо*— множество таких мер а на Cl, что Р(А + В) > P(A) + а(В) для всех В Є cS.

Тогда

(a) 0 ф Ia С I, причем множество Ia выпукло и компактно; как мы увидим позже, оно является симплексом Шоке и гранью симплекса I (следствие 3.14).

(b) Множество

D = {А Є cS\ Ia состоит из единственной точки} массивно в cS.
3.7. Теорема 63

Пусть теперь X — сепарабельное банахово пространство и Lp:X —

непрерывное линейное отображение, удовлетворяющее условию LpX плотно в cS.

(c) Для Феї определим множество

1ф = {F Є X*: Po ір(Ф + Ф) ^ Po <?>(Ф) + F( Ф) при всех Ф Є X},

D' = {Ф Є X: Іф состоит из единственной точки}.

Тогда Гф = {сг о ір\ а Є Ilpф} и множество D' = If-1D массивно в X.

(d) Iipф совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества таких р, что

р — Iini рп, рп Є Iipфп,

OO

Iim ||Ф„ - Ф|| = О, Фи Є Ip-1D.

Tl—* OO

Элементы множества Ia называются равновесными состояниями для А; элементы множества 1аф — равновесные состояния для взаимодействия Ф.

Непустота Ia и утверждение (Ь) верны для любого непрерывного выпуклого функционала P на сепарабельном банаховом пространстве (см. приложение А.3.6 и А.З.7). Поэтому множество D' массивно в X.5

Из (3.11) следует, что если F Є Гф, то

F(Ф) < Po fi(Ф + Ф) — P о <?>(Ф) Sj I|<?>Ф||.

Отсюда, заменив Ф на —Ф, получаем |Р(Ф)| ^ Н^ФЦ, т.е.

sup |Р(Ф)| < 1 (3.20)

||^Ф||<1

и существует такое сг Є cS*, что F = а о fi. Вследствие плотности множества fiX в cS мера а единственна и принадлежит множеству Ipф. Таким образом, 1ф С {а о ip: а Є Ipф} и, следовательно, І'ф = {а о ір: а Є Ipф} (надо воспользоваться плотностью множества LpX в В частности, I!t, состоит из единственной точки тогда и только тогда, когда этим свойством обладает Ipф; тем самым, D' = Lfi-1D. Так как мы уже установили, что множество D' массивно в X, утверждение (с) доказано.

5Чтобы убедиться в этом, надо сказанное в предыдущей фразе применить к P о ip. — Прим.
64

Глава З

Перейдем к доказательству утверждения (а). Мы уже знаем, что Ia ф 0- Положив в (3.20) X = cS, получим ||<т|| ^ 1 для всех а Є Ia-Кроме того, в силу (3.12)

<7(1) = -<7(-1) > ~[Р(А - I) - P(A)} = 1.

Ho если І |сг| I ^ їй сг(1) ^ 1, то a ^ 0 и | |<т | = 1, т. е. а Є Е. Еще раз

применив (3.12), получаем

0 = P (A + Botx-B)- P(A) > а (В о тх - В) >

> -\Р(А -Botx + В)- P(A)} = 0,

откуда видно, что и Є І. Таким образом, Ia C і. Очевидно, множество Ia

выпукло и компактно. Доказательство утверждения (а) закончено.

Обратимся к утверждению (d). Для всех р, рп, Ф, Ф„, о которых идет речь в этом утверждении, и всех В Є cS справедливо неравенство

Р(ірФп + В) ^ Р((рфп) + Pn(B).

Поэтому

Р(срФ + В) > Р(^Ф) + р(В),

т. е. р Є Ivф.

Предположим, что сг Є і^ф не принадлежит замкнутой выпуклой оболочке указанного множества мер р. По теореме о разделимости компактных множеств (приложение А.3.3 (с)) существует такое Ф Є 1, что

sup СГ^Ф) > вир/Э^Ф).

(ТЄ/фф P

Пусть Ф„ = Ф + (1/тг)Ф + Xn, где ||Хга|| < 1/п2 и Фп Є Cp^1D.6 Будем писать {рп} вместо Iv^71. Если а Є Ivф, то в силу выпуклости функции P

Поэтому

IgcI I I IgcI I

“ IT ^ PniiP^) + —

Существование такого Фп вытекает из плотности в X множества ^p-1D. — Прим. ред.
3.8. Энтропия

65

и, значит,

<т(<^Ф) < p(ip^)

для всякой предельной точки р последовательности мер рп. Поскольку это противоречит выбору Ф, утверждение (d) доказано; его также можно вывести из общих свойств выпуклых функций (см. приложение А.3.7).

3.8. Энтропия

Для конечного Л С 7Lv и вероятностной меры ид на энтропия определяется равенством

S(Uk) = - E c7AU) logо-л{?}.

Нетрудно проверить, что

О < S(ал) < |Л| log\Q0\.

При Л = 0 энтропия считается равной нулю.

Если сгд — другая вероятностная мера и 0 < а < 1, то

aS(oA) + (I - a)S(tj'A) < S(atJA + (I - а)аА) <

< а5(стл) + (I - ^^((Тд) + log 2. (3.21)

Действительно, положив crj = <тл{?}, сг^ = Од{?} и пользуясь выпуклостью функции t н-> t log t и монотонностью логарифма, получим

- Elac7C loSc7C + (1 - qO0J 1Og o-j] <



< -Elac7C + (1 — а)°"с] bglaac + (I - oOoj] ^

С

^ — ^^[асг? log CXCTj + (I — а)о-? log(l — ск)сг^] =

С

= — ^^[acrj log CTj + (I — сх)о? log сг^) — a log а — (I — a) log(l — a) ^

С

< - E[ac7C l°g c7C + (1 _ qO0J l°g c7J] + l°g 2-с
66 Глава З

Если а ? Е, то S(aAa) — возрастающая7 функция множества Л, которая обладает свойством сильной субаддитивности-.

SiaA1Uk2Cr) + SXaA1HA2O-) < S(aAiO-) + 5(ал2іт). (3.22)

Возрастание S{aл<т) прямо следует из монотонности логарифма. Чтобы доказать (3.22), воспользуемся неравенством — log(l/i) ^ t — 1, в силу которого
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed