Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
88
Глава 4
Aora-A, где А Є c^, а Є Z". Обозначим через [Ф] образ элемента Ф є Sfe в LpSfe/(LpSfe П ¦$). Тогда
(a) функция [Ф] н-> Р(Аф) корректно определена на LpSfej(LpSfe) П ,$), и если выполнено условие (D), то эта функция строго выпукла на подмножестве {[Ф] Є LpSfe/(LpSfe П J'): сг(Аф) = 0}, где а — произвольно выбранный элемент множества I.
(b) Если выполняется (D) и взаимодействия Ф, Ф' имеют общее равновесное состояние р, то Аф> — Аф Є Sf + М.
Будем говорить, что взаимодействия Ф, Ф' Є Sfe физически эквивалентны, если существуют такие с Є Ш и В Є , что Аф/_ф = В + с (или, в других обозначениях, [Ф'] = [Ф] + с, с Є К). Два физически эквивалентных взаимодействия из Sfe имеют одинаковые равновесные состояния. Обратно, если два взаимодействия из Sfe имеют общее равновесное состояние, то они физически эквивалентны. Ограничение функции P на класс эквивалентности {Ф' Є Sfe-. Афі-ф Є + R} аффинно, и классы эквивалентности являются максимальными аффинными множествами, на которых функция P аффинна.
4.8. Ж"-решетчатые системы и Ж"-морфизмы
В параграфе 2.1 мы ввели объекты (L, (іїх)хеь, 0л)л<е5?), назвав их решетчатыми системами. В настоящей главе предполагается, что L = Z", Qx = По и система (Пд)лє^ инвариантна относительно сдвигов решетки Z". Такую решетчатую систему с дополнительной структурой, обусловленной сдвигами, мы будем называть Z"-решетчатой системой и обозначать (Zv, По; (Пл)лє^)- Будем говорить, что отображение
F: (Ziy, Qq, (Ол,)л'є^') ^(ь(Пл)лє^)
является Uj-морфизмом, если существует семейство (Fx)xfZjj1' со свойствами (М1)-(М4) из параграфа 2.1 и если, кроме того,
(М5) Fx^aTa = Fx.
Такое отображение F является морфизмом. Если это изоморфизм, то будем называть его rLv-изоморфизмом.
4.9. Предложение
Отображение F: Q' н->• Q является Ъ1'-морфизмом тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
4.10. Следствие
89
(a) F непрерывно;
(b) F эквивариантно, т. е. TaF = Fra;
(c) ограниченное F на множество Ylf =W1^Cl': Iim <1'(тхг]', TxSi1) =
^ ж—»оо
= 0} является биекцией на множество Yfbi ={г1^С1: Iim с1(тхг), TxFSi') =
^ х—>оо
= 0} (здесь d, d' — метрики, совместимые с топологиями на Cl, Cl' соответственно).
Очевидно, из (Ml)-(М5) вытекают свойства (а)-(с). Предположим теперь (а) -(с) выполненными. Так как отображение F непрерывно, существует такое конечное множество Al С 1/, что [FS')о зависит только от ?'|Al. Положим M' = M U {М + Л: 0 Є Л Є ^}. В силу компактности можно выбрать такое конечное множество Al" D M', что для любого г/ Є С1'м,, существует г/* Є Cl', удовлетворяющее условию
г)*\М' = г,'\ Al'.
Положим А1(х) = Al" + хи определим отображение Fx: CI1m^ > Clx равенством
Fx(T-xVr) = (Fr,*) о.
Ясно, что мы получим (Ml), (М2), (М4) и (М5). При Л Є §•, Л С X, ^ є {М(ж): хех} возьмем X0 Є Л и пусть = тХо?,'\А1". Тогда существует такое г/* Є Cl', что rf\M' = г)'\А1' = tXoS'\A1'. Следовательно, если а; Є Л, то г,* I Al + (х -X0) = тХа?,'\А1 + (х — X0) в силу определения Al'. Заметим теперь, что
Fx(i'\Al(x)) = Fx(t-xtx~x«(tx4'\M" + (х - X0))) =
= Fx(t-xtx-x°(V*\A1" + (х- X0))) = (Frc^V)0 = (Frf)x-xa, откуда вытекает (М3).
4.10. Следствие
(a) Всякий эквивариантный гомеоморфизм F: Cl' н-> Q является rLv-изоморфизмом.
(b) Для любой Iiv-решетчатой системы (Z", CIq, (Пл)лє^) существует ТУ-изоморфизм
F: (1У, Г2д, (Г2Л/)л'е^') (Ziy, Г2о5 (Цл)лє^)і где §•' состоит из двухточечных множеств {х, у}, в которых х и у —
V
ближайшие соседи, т. е. Yl \хі ~ Уі \ = 1-?;=і
90
Глава 4
Утверждение (а) непосредственно вытекает из предложения 4.9.
Чтобы доказать (Ь), положим М(х) = {у Є Zv : max \хі — Уі\ ^ І}, где
І
I > 0 выбрано так, что если х Є Л Є Jr, то Л С M(х). Пусть Clrx = С1м(х) и пусть, в соответствии с приведенной выше формулировкой,
S'1 = {{х, у}: х и у — ближайшие соседи}.
Для {х, у} Є положим п{х,у} = {(?> v) Є ^M(X) х іїм(у) ¦ ?\М{х) П M (у) = T]\M(x) П M(у)}. Отображение F: Clr Cl, для которого (F^r)x = (?х)х, является эквивари-антным гомеоморфизмом и, тем самым, в силу (а) — Zv-изоморфизм.
4.11. Замечание
К Ж"-морфизмам и трансляционно-инвариантным взаимодействиям можно непосредственно применить результаты главы 2. В частности, если Ф Є 38(ZV, Г2о, (^л)лє^) и F является Х"-морфизмом, то F*Ф Є Є SS (Zv, (?, )л'є5?'), как следует из оценки нормы в параграфе 2.3.
4.12. Предложение
Пусть F: (Zu, Qq, (0л,)л'<=5?' ) і—> (Zly, (CIa) является
-морфизмом. Тогда
(a) Если а’ — произвольное т-инвариантное состояние на Clr, то
s(tj') > s(Ftjr) и ... . ч
; a'(АР. Ф) = (Fa')(A,ь).
(b) Если F является Zv-изоморфизмом, то Pf ф = Рф.
Так как S(a'u{M^. ж?Л}) > S((Far)л), мы получаем s(ar) > s(Fa'). Далее,
a'(AF,?)=- Y 71777^((-^*^) ° “*') = х'эо I I
= - E Y АтУ(Фоах°Р) =
Х'ЭОХ: U{М(х): х€Х}=Х’ *
= ~х: и,mS.€-V}3„ I U (mW : * A-Nijvx* ° =
= ~ Y (J^crr)(Ф О ах) = (Раг)(Аф).
хэо I
4.13. Ограничение Z" на подгруппу G
91
Это доказывает утверждение (а); (Ь) следует из (а) и вариационного принципа для P (теорема 3.12).