Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рюэль Д. -> "Термодинамический формализм" -> 25

Термодинамический формализм - Рюэль Д.

Рюэль Д. Термодинамический формализм — Ижевск, 1995. — 281 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriteciskieformati1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 84 >> Следующая

88

Глава 4

Aora-A, где А Є c^, а Є Z". Обозначим через [Ф] образ элемента Ф є Sfe в LpSfe/(LpSfe П ¦$). Тогда

(a) функция [Ф] н-> Р(Аф) корректно определена на LpSfej(LpSfe) П ,$), и если выполнено условие (D), то эта функция строго выпукла на подмножестве {[Ф] Є LpSfe/(LpSfe П J'): сг(Аф) = 0}, где а — произвольно выбранный элемент множества I.

(b) Если выполняется (D) и взаимодействия Ф, Ф' имеют общее равновесное состояние р, то Аф> — Аф Є Sf + М.

Будем говорить, что взаимодействия Ф, Ф' Є Sfe физически эквивалентны, если существуют такие с Є Ш и В Є , что Аф/_ф = В + с (или, в других обозначениях, [Ф'] = [Ф] + с, с Є К). Два физически эквивалентных взаимодействия из Sfe имеют одинаковые равновесные состояния. Обратно, если два взаимодействия из Sfe имеют общее равновесное состояние, то они физически эквивалентны. Ограничение функции P на класс эквивалентности {Ф' Є Sfe-. Афі-ф Є + R} аффинно, и классы эквивалентности являются максимальными аффинными множествами, на которых функция P аффинна.

4.8. Ж"-решетчатые системы и Ж"-морфизмы

В параграфе 2.1 мы ввели объекты (L, (іїх)хеь, 0л)л<е5?), назвав их решетчатыми системами. В настоящей главе предполагается, что L = Z", Qx = По и система (Пд)лє^ инвариантна относительно сдвигов решетки Z". Такую решетчатую систему с дополнительной структурой, обусловленной сдвигами, мы будем называть Z"-решетчатой системой и обозначать (Zv, По; (Пл)лє^)- Будем говорить, что отображение

F: (Ziy, Qq, (Ол,)л'є^') ^(ь(Пл)лє^)

является Uj-морфизмом, если существует семейство (Fx)xfZjj1' со свойствами (М1)-(М4) из параграфа 2.1 и если, кроме того,

(М5) Fx^aTa = Fx.

Такое отображение F является морфизмом. Если это изоморфизм, то будем называть его rLv-изоморфизмом.

4.9. Предложение

Отображение F: Q' н->• Q является Ъ1'-морфизмом тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
4.10. Следствие

89

(a) F непрерывно;

(b) F эквивариантно, т. е. TaF = Fra;

(c) ограниченное F на множество Ylf =W1^Cl': Iim <1'(тхг]', TxSi1) =

^ ж—»оо

= 0} является биекцией на множество Yfbi ={г1^С1: Iim с1(тхг), TxFSi') =

^ х—>оо

= 0} (здесь d, d' — метрики, совместимые с топологиями на Cl, Cl' соответственно).

Очевидно, из (Ml)-(М5) вытекают свойства (а)-(с). Предположим теперь (а) -(с) выполненными. Так как отображение F непрерывно, существует такое конечное множество Al С 1/, что [FS')о зависит только от ?'|Al. Положим M' = M U {М + Л: 0 Є Л Є ^}. В силу компактности можно выбрать такое конечное множество Al" D M', что для любого г/ Є С1'м,, существует г/* Є Cl', удовлетворяющее условию

г)*\М' = г,'\ Al'.

Положим А1(х) = Al" + хи определим отображение Fx: CI1m^ > Clx равенством

Fx(T-xVr) = (Fr,*) о.

Ясно, что мы получим (Ml), (М2), (М4) и (М5). При Л Є §•, Л С X, ^ є {М(ж): хех} возьмем X0 Є Л и пусть = тХо?,'\А1". Тогда существует такое г/* Є Cl', что rf\M' = г)'\А1' = tXoS'\A1'. Следовательно, если а; Є Л, то г,* I Al + (х -X0) = тХа?,'\А1 + (х — X0) в силу определения Al'. Заметим теперь, что

Fx(i'\Al(x)) = Fx(t-xtx~x«(tx4'\M" + (х - X0))) =

= Fx(t-xtx-x°(V*\A1" + (х- X0))) = (Frc^V)0 = (Frf)x-xa, откуда вытекает (М3).

4.10. Следствие

(a) Всякий эквивариантный гомеоморфизм F: Cl' н-> Q является rLv-изоморфизмом.

(b) Для любой Iiv-решетчатой системы (Z", CIq, (Пл)лє^) существует ТУ-изоморфизм

F: (1У, Г2д, (Г2Л/)л'е^') (Ziy, Г2о5 (Цл)лє^)і где §•' состоит из двухточечных множеств {х, у}, в которых х и у —

V

ближайшие соседи, т. е. Yl \хі ~ Уі \ = 1-?;=і
90

Глава 4

Утверждение (а) непосредственно вытекает из предложения 4.9.

Чтобы доказать (Ь), положим М(х) = {у Є Zv : max \хі — Уі\ ^ І}, где

І

I > 0 выбрано так, что если х Є Л Є Jr, то Л С M(х). Пусть Clrx = С1м(х) и пусть, в соответствии с приведенной выше формулировкой,

S'1 = {{х, у}: х и у — ближайшие соседи}.

Для {х, у} Є положим п{х,у} = {(?> v) Є ^M(X) х іїм(у) ¦ ?\М{х) П M (у) = T]\M(x) П M(у)}. Отображение F: Clr Cl, для которого (F^r)x = (?х)х, является эквивари-антным гомеоморфизмом и, тем самым, в силу (а) — Zv-изоморфизм.

4.11. Замечание

К Ж"-морфизмам и трансляционно-инвариантным взаимодействиям можно непосредственно применить результаты главы 2. В частности, если Ф Є 38(ZV, Г2о, (^л)лє^) и F является Х"-морфизмом, то F*Ф Є Є SS (Zv, (?, )л'є5?'), как следует из оценки нормы в параграфе 2.3.

4.12. Предложение

Пусть F: (Zu, Qq, (0л,)л'<=5?' ) і—> (Zly, (CIa) является

-морфизмом. Тогда

(a) Если а’ — произвольное т-инвариантное состояние на Clr, то

s(tj') > s(Ftjr) и ... . ч

; a'(АР. Ф) = (Fa')(A,ь).

(b) Если F является Zv-изоморфизмом, то Pf ф = Рф.

Так как S(a'u{M^. ж?Л}) > S((Far)л), мы получаем s(ar) > s(Fa'). Далее,

a'(AF,?)=- Y 71777^((-^*^) ° “*') = х'эо I I

= - E Y АтУ(Фоах°Р) =

Х'ЭОХ: U{М(х): х€Х}=Х’ *

= ~х: и,mS.€-V}3„ I U (mW : * A-Nijvx* ° =

= ~ Y (J^crr)(Ф О ах) = (Раг)(Аф).

хэо I
4.13. Ограничение Z" на подгруппу G

91

Это доказывает утверждение (а); (Ь) следует из (а) и вариационного принципа для P (теорема 3.12).
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed