Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Утверждение (а) очевидно. В частности, для любых эргодических pi, ..., рп существует такое равновесное состояние р, отвечающее взаимодействию Ф Є si, что ||р — {l/n)(pi + .. . + рп)(I < 1/п. Пусть шр порождает эргодическое разложение этого р. Тогда
3.16. Теорема
I\а' — сг|
и
3.17. Следствие
74
Глава З
(см. приложение А.5.5) и, следовательно, rnp({pi}) >0, ..., "nip^Pn)) > 0. Ho в таком случае в силу следствия 3.14 pi, ..., рп являются равновесными состояниями для взаимодействия Ф.
3.18. Аппроксимация инвариантных состояний равновесными
Мы только что установили, что каждое инвариантное состояние а можно приблизить по норме равновесным состоянием а' для некоторого взаимодействия из si. Однако с физической точки зрения этот интересный результат следует считать патологией, так как не все взаимодействия из si являются физически приемлемыми. В действительности, чтобы иметь возможность определить гиббсовские состояния, мы введем в следующей главе некоторое более узкое пространство взаимодействий 5$. Затем будет показано (см. предложение 4.7 (Ь)), что если взаимодействия Ф, Ф' Є 2ё имеют общее равновесное состояние, то они в некотором смысле эквивалентны и все их равновесные состояния одинаковы (это совершенно не похоже на ситуацию следствия 3.17 (Ь)).
Физически значимые результаты могут быть получены при помощи аппроксимации инвариантных состояний равновесными, если использовать общую теорему о выпуклых функциях, принадлежащую Израэлю (см. приложение А.3.6). Из этой теоремы следует, что в некотором подпространстве или конусе пространства si можно найти взаимодействие, которое обладает равновесным состоянием, удовлетворяющим определенным неравенствам. Если эти неравенства выражают отсутствие определенного кластерного свойства, то отсюда можно вывести физические следствия. Доказываемая ниже теорема 3.20 содержит пример взаимодействия, у которого имеется несколько различных равновесных состояний (другие примеры см. в упражнении 1 главы 4).
3.19. Лемма
Пусть А\, А2 Є cS и S С Hj. Определим выпуклое множество
¦% = |oiAi + a2^2 + ^ (bxAі • (Ai о Tx) + b-x(Ai о тх) ¦ Ai):
X^Lv
яі, а,2, Ьх Є R, bx ^ О, Ьх = 0, если х ?. S, Ьх < 001.
xGS
3.19. Лемма
75
Предположим, что A1, А2 Є ‘Йд для некоторого конечного Д С rLv. Тогда для любых сто Є I, B0 Є Чо и є > 0 существуют такие В Є B0 + 5?s и
о Є Ів, что
ЦБ -SqIK ^[P(B0) - о(В0) - а(<7-0)] (3.38)
и
Cr(A1 ¦ (A2 О Tx)) - O(A1)O(A2) >
> о0(A1 ¦ (A2 о тх)) -O0(A1)O0(A2) — Зє||Аі|| • ||А2|| (3.39)
при всех X Є S.
Можно считать, что 0 — «средний» элемент множества Д в лексикографическом порядке. Для Ch1, а2, Ъх Є R, удовлетворяющих условиям Ъх ^ 0, Ъх = 0 при х ?. S и Ъх < со, определим взаимодействие Ф Є si, положив
—Ф(?|Д) = Q1Ai(St) + Ci2A2(S) + &o^4i(?) ¦ ^г(?),
-Ф(?|Д U (Д + х)) = bxA1(S) ¦ A2(txS) + b-xA^S) ¦ A2(S), если х ф 0,
Ф(?|Х) = 0, если X нельзя получить из Д U (Д + х) с помощью сдвига.
Используя выражение (3.2) для нормы, убеждаемся, что такие Ф образуют замкнутый выпуклый конус ЙЙ С si.
Пусть Фо Є si таково, что Аф0 = B0. Воспользуемся теоремой Израэля (см. приложение А.3.6) и описанием касательных плоскостей к отображению Ф н-> Рф, данным в теореме 3.7 (с). В силу этих результатов существуют такие Ф Є Фо + й и а Є Ia4,, что
||Ф-Ф0|К ?[^Фо -*о(АФо)-*(<*>)] (3.40)
и для всех Ф Є SP-
о(Аф) > о0(Аф) - є|Ф|. (3-41)
Из (3.41) вытекает, что
|с(Аі) — Co (Al Ж eI I I Ii |с(А2) — Co(A2)K ЄІІ^-2І (3.42)
и для всех X Є S
Cr (A1 ¦ (A2 О Tx)) > о0 (Al • (A2 ОТ1)) — є| I Al | • ||А2||. (3.43)
76
Глава З
Из (3.42) получаем
\<j(Ai)<j(A2) — 00(^1)00(^2)1 =? 2є 11 Ai | • ЦА2Ц,
которое вместе с (3.43) доказывает (3.39).
Пусть С — элемент !?s, образованный при помощи тех же самых а\, а2, Ь.г, которые определяют Ф Фо в '.‘А.. Положим В = B0 + С. Тогда В Є B0 + i?s и в силу (3.40)
I-B--Boll = He'll ^ Ф — Фо| =? Ь[Р(Во) — со (-Во) — s(cr0)],
которое доказывает (3.38). Далее, р(С) = /з(Аф_ф0) для всех р Є I. Поэтому Ib = IЭ о, что завершает доказательство.
3.20. Теорема
Пусть А Є ‘Йд для некоторого Д С rLv. Определим выпуклый конус !? = |аА + ^ ЪХА • (А о тх): a, bx G R, Ьх > 0, ^ Ьх < 001.
X^Lv
(a) Пусть о'0, о0 Є I таковы, что CTq(A) ф ctq(A). Тогда для любого С GcS найдутся В Є С + !? и равновесные состояния о', о" Є I в, для которых cr'(А) ф сг"(А).
(b) Пусть ctq, сгq Є I —равновесные состояния для С Є cS, для которых (Tq(A) ф ctq(A). Тогда для любого є > 0 найдется такое S > 0, что если С' Є cS и IlС' — С\\ < S, то существуют В Є С' + !? с \\В — С"|| < є и равновесные состояния о', о" Є Ib с сг'(А) ф а"{А).
Положим сто = |(ctq + ctq). Тогда из предположения ctq(A) ф Oq(A) следует, что
Tojo (A2) = Iirn^O0 ([lAp1 А о тж] J > O0(A)2
^°° х€Л
(см. § 3.6). Выбираем такое є > 0, что
Iim сг0 ([|Л|-1 E Aor1] ) > Cr0(A)2+4є||А||2.
a^qo жЄЛ
3.21. Сосуществование фаз
77
Применив лемму 3.19 при Ai = = А и S = Uj (S0 мы выбираем позже),
