Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
(b) каждое гиббсовское состояние для взаимодействия Ф Є Sfei является выпуклой комбинацией гиббсовских состояний а^а\ где а— гиббсовское состояние для F^*Ф на (Og“\ t^),
(c) если S Є О, является периодической точкой (т. е. TpS = S при некотором р > 0), то S принадлежит одному из множеств F^ Q^aK
5.3. Теорема
Для всякой транзитивной Ъ-решетчатой системы (Z, (Г2д)лє^)
при некотором N > 0 существует N перемешивающих N Z-решетчатых систем2 t^) и N инъективных NZ-морфизмов
FW:(n«*\ №) - (iVZ, fiM(0), (П'лОл'є^).
где система (N7L1 0,М(р), (^Л')л'є^') получена из (Z, Г2о, (Од)лє^) ограничением Z на подгруппу JVZ со следующими свойствами:
(a) образы F^ образуют разбиение пространства О и циклически переставляются отображением т,
(b) если Ф Є S§i(Z, Г2о, (Од)лє^) м Ф* — соответствующее взаимодействие для системы (NZ, Г2м(о), (0Л/)л'е^')< определенное в предложении 4.14, то каждое гиббсовское состояние для Ф является выпуклой комбинацией гиббсовских состояний F^u^\ где a^ — единственное гиббсовское состояние для F^*Ф* на (Og3^, t^),
(c) если S Є О, — периодическая точка и TpS = S, то р кратно N.
Для доказательства сформулированных теорем предположим, не ограничивая общности, что (Z, Г2о, (Г2л)лє^) = (^Cb t). Тогда существует такое целое J > 0, что (t2J)ij > 0, если и только если (tJ)ij > 0. [Очевидно, можно найти такие целые k, I > 0, что I ^ 2к и (tk)ij > 0 в том и только том случае, когда (tl)ij > 0. Возьмем J = 12 — Ы и заметим, что J = lk+(l — 2k)l, 2J = ll + (l-2k)l.]
Введем отношение порядка
(г -< j) (Vj)ij > 0.
2Используя изоморфизм Z —> ArZ, мы рассматриваем Z-реіпетчатую систему (^q3 \ t^)
как jVZ-решетчатую систему.
5.4. Лемма
99
Оно не зависит от выбора J (так как і < j эквивалентно выполнению при любом целом J7 > О неравенства (tJJ )ij > 0). Кроме того, из і j, j -< к вытекает, что і к. На множестве {г Є Г2о: * *} определим отношение
эквивалентности ~, положив
(г ~ j) {і < jnj < і).
Обозначим через [г] класс эквивалентности точки г, порожденный этим отношением. Порядок -< на классах эквивалентности определяется следующим образом3:
5.4. Лемма
Пусть а, Ь Є Z, а < b и
А = {х Є h: aJ < х < bJ}, M = {х Є Z: (a — I) J < x < (b + I) J}.
Тогда существует такое К > 0 ,не зависящее от а, Ь, что если V, І Є ^z\м U
[V(a-l)j] = [V(a-l)j\ -< [V(b+l)j] = [V[b+l)j]i
то
(алмД(м)чЖ} =? К(аАмР(м)г>'){0- (5-4)
Сперва заметим, что если (, (’ Є Cl и ?|Л = ('|Л, то
exp[-t/(C|M) - Wm,z\m(C)] < K1 exp[-U{('\M) - Wm,z\m(C%
где K1 = exp[2 x 2 x (21Ф11 + <7|Ф|)]. Поэтому
E exp[-U(C\M) - Wm,z\m(0] ^
С* : С*|Л = С, с* \(Z\M) = ri
^K2 E exp[-U(C\M)-WM,z\M(C)b (5.5)
с* : с* |Л=С.
C*\(z\M) = v'
3 Определение классов эквивалентности и порядка на них, аналогичное изложенному, является стандартным в теории цепей Маркова; см., например, Чунг [1], I, § 3.
100 Глава 5
где K2 = I\2JK\. Просуммировав по С и поменяв местами г, и г/, получим
Y1 exp[-U(C\M) - Wm^m(C)] >
С*: с*l(Z\М)=п
XK2)-1 Yl ехр[—[/(CIM)-HVzw(C)]- (5.6)
С*: C*l(Z\M)=rj'
Деление (5.5) на (5.6) приводит к неравенству (5.4) с K = (K2)2.
5.5. Доказательство теорем 5.2 и 5.3
Для любых классов [г] и [j] определим функцию С на пространстве О, равенством
Г 1, если Iim [?„,/] = [г] и Iim [?„j] = \j],
_ / n—OO n—>+oo
[ 0 в противном случае .
Для всякой вероятностной меры <т на О, функция С принадлежит алгебре на бесконечности (см. § 1.10) и, следовательно, если сг — чистое (= экстремальное) гиббсовское состояние, то эта функция почти всюду равна нулю или единице. Поэтому для любого чистого гиббсовского состояния а, отвечающего взаимодействию Ф Є ?§, существуют такие (однозначно определенные) классы [г] и [j], что сг-почти всюду
Iim [Cnj] = И, Iim [CnJ-] = Ij]-
Tl—> — СЮ Tl—у оо
Предположим сначала, что [г] Ф [j]. Для любого є > 0 найдется такое N, что
0-({?: [Cnj] = И для п < -N и [C„j] = [j] для n > JV}) > 1 - є.
Так как <т — гиббсовское состояние, мы можем оценить вероятность р_ того, что [C-jvj] = [*], в терминах /і(м)?}{?}> гДе M — достаточно большой интервал с центром в точке — NJ и
5.5. Доказательство теорем 5.2 и 5.3
101
То же самое относится и к вероятности р+ того, что [?nj] = [г]. Из леммы 5.4 с учетом трансляционной инвариантности Ф получим р < Кр+. Это неравенство несовместимо с неравенствами > 1 — є, р+ < є, если є выбрано достаточно малым. Поэтому предположение [г] ф [j] необходимо отбросить.
Покажем теперь, что при [г] = [j] существует только одно чистое гиббсовское состояние. Пусть Л, Al выбраны так же, как в лемме 5.4, и пусть [Vnj] = [Vnj] = И ПРИ всех п. Зафиксировав тД рассмотрим разность
М(Л)?)Ш = («лм^(м)чЖ} - ^(алмД(м)і)'Ж} ^ 0.
Тогда
IIai(A)TjII = У ' а*(л)?){?} = і — к
Если а, а' — гиббсовские состояния, то
аА(а - о-'Ж} = J(vz\M(dv) - &%\м№№(А)г,{?}-
Поэтому
11 сг — сг/11 = Iim I |скл(сг — Cr') 11 ^ I |сг — Cr' 11 (I — K^1)
— а, 6—»оо
и, следовательно, |сг — сг'| =0.
