Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
При іе? положим также
ZX(A)= ехр^А(гжГ),
^ЄПд жЄЛ
где для каждого ? Є произвольно выбрано такое Є Cl, что ?*|Л = ?. Пусть Рд = |Л|— 1 log Zf. Тогда
|РФ+ІФ = ? IL^Mexphu*+t*m
СЄ^Л '
ЛІ^рл U=O
и, следовательно,
d2 рф+(ф ' dt
= (Zt)-2Yl YhuA^-uA^2e^-uA(o-utm>o. (3.5)
?єПд ї?Є?^л
Отсюда видно, что Ф ¦ Рд — выпуклая функция. С другой стороны,
d
поэтому
Зф _ РФ| ^ d_ рф+4(ф-ф) Заметим также, что
|Рд--РГК sup f Pl 0<t<l аг
< ||Ф - Ф||. (3.6)
-||Ф|| < рл < ЦФЦ + log |Г20|- (3.7)
Свойства, аналогичные (3.5), (3.6) и (3.7), сохранятся, если заменить Zf на Zf или Zl(A). В частности, положим Pl(A) = |Л|-1 logZl(A); тогда функция А н-> Рд (А) выпукла и
\Р1(А)-Р1(В)\^\\А-В\\ (3.8)
(предполагается, что в определении Za фиксирован некоторый выбор точки Є П).
3.4. Теорема
59
3.4. Теорема
Для любых ai, ..., CLv > 0 определим множество
К(а) = {х Є Zu: 0 ^ Xi < }
и будем писать а —> оо, когда аi, ..., av —> оо. .Если Ф Є a 4 ? иго существуют пределы
При этом Рф = Р(Аф), функция Р, которая называется давлением, выпукла и непрерывна на cS; более того,
Ниже мы увидим, что термодинамический предел а —> ос в (3.9), (3.10) можно заменить более общим предельным переходом Л j оо (см. §3.9 и следствие 3.13). Другие свойства функции P приведены в параграфе 6.8.
Пусть сначала Ф Є siо: если ? Є Clx и X — X (?_ Д, то Ф(?) = 0. При Л С M
Рф = Iim |Л(а)| 1IogZ^(Ci) = Iim |Л(а)| 1IogZ^fo1,
а—>оо а—>оо ' '
P(A) = Iim |Л(а)|-1 logZA(a)(A).
CL—>ОО 4 7
(3.9)
(3.10)
(3.11)
Если t G R, то
P(A + Botx-В +t) = P(A) + t.
(3.12)
(3.13)
где
(3.14)
где -/У(Лг) — число таких точек х Є Лг, что х + A (f_ Л2.
Положим
Рф= Iim IAM-1IogZ^0).
(3.15)
Для всякого є > 0 выбираем такое Ь, что
60
Глава З
Тогда для любого набора а±, ..., av, который целочисленно кратен набору &i, ..., bv, в силу (3.14) справедливо неравенство
IA(O)I-1Iog^0J <РФ +є.
С помощью (3.13) отсюда нетрудно вывести, что
Iim |Л(а)|-1 \ogZl{a) < Рф. (3.16)
о,—>оо 4 '
Из (3.15), (3.16) получаем
Iim IЛ (а) Г 1Iog ?д(а)=Рф. (3.17)
CL—^OO 4 '
Случай произвольного Ф Є si сводится к рассмотренному с использованием свойства равномерной непрерывности (3.6).
Заметим теперь, что (3.14) можно заменить неравенством
уФ ^ уФ уФ (Л2) 11 ф I fQ 18s!
^AiUA2 ^ ^Лі^Л2Є > I1O.IoJ
где
zA1 = exPhc7A(0], ClAl = {?|Лі: C Є ПАі ил2};
Zf2 определяется аналогичным образом. Неравенство (3.18) легко обобщить, заменив Лі U Л2 на Лі U ... U Ara. Взяв в качестве Al, ..., An множества, полученные сдвигом из A(6) и такие, что Ai U ... U An = А(а), приходим к неравенству
a-HSo Ia(^)I ll0SzMa) < 1Л(6) 1 log ZA(b) + (3'19)
при ЭТОМ ZA(b)
вычисляется с использованием множества
йщ) = {?|Л(&): С Є 0Л(Ь)+д},
где А — любое конечное множество, содержащее О (чтобы убедиться в этом, заметим, что Aj- + Д С Л(а) для большинства j между 1 и гг, если а —> оо). Из справедливости неравенство (3.19) при всех Д вытекает, что
3.5. Инвариантные состояния 61
а так как ZXfb) Sj ^л(Ь) > мы полУчаем
Iim IA(^r1IogZXfa) =РФ,
о,—>ОО 4 '
что и завершает доказательство соотношений (3.9).
В силу (3.3) при Є Q
е^(Г|Л) + 5>ф(т*о= E фпх)-ЕЕ*ф^іх+і)-
жЄЛ XCA жЄЛ
Следовательно, если Ф Є sd0, то
^л(Г|Л) + Е^ф(^Г)| <ЖЛ)||Ф||
жЄЛ
и, значит,
Jiin |A(a)I—1 [logZXfa) - logZXf0)(АФ)] = 0.
Пользуясь плотностью множества {Аф : Ф Є Si0] в '(І и равномерной непрерывностью (3.8), мы получаем отсюда (3.10) и равенство Рф = Р(Аф) для всех Ф Є si. Выпуклость функции P и неравенство (3.11) вытекают из соответствующих свойств Рдф, а равенство (3.12) — из соотношений
Hm [PXfa) (АФ +Афог1-АФ) - PXfa) (АФ)] =0, Ф,Фе<
2ца№ + *) = етг*А(а){А), которые проверяются непосредственно.
3.5. Инвариантные состояния
Для каждого а Є 7Lv определим линейное отображение т°, действующее в пространстве '(+ действительных мер на Cl равенством
(т°<т)(А) = <т(А о т°), AecS.
Это отображение непрерывно в слабой топологии и переводит множество E вероятностных мер (состояний) в себя. Пусть I — множество т-инвариант-ных мер:
I = {а Є Е: TaCf = а при всех а Є Ziy).
Мы будем называть эти меры трансляционно-инвариантными состояниями или просто инвариантными состояниями.
62
Глава З
3.6. Предложение
Множество І инвариантных состояний выпукло, компактно и является симплексом Шоке.
Это общее свойство совокупности вероятностных мер, инвариантных относительно некоторой группы гомеоморфизмов компактного множества. Выпуклость и компактность I очевидны. Если сг — какая-нибудь т-инва-риантная мера, то мера |<т| тоже т-инвариантна. Отсюда следует, что I — симплекс Шоке (см. приложение А.5.5).
Экстремальные точки множества I называются эргодическими состояниями. Единственное разложение инвариантного состояния р на эргоди-ческие состояния называется эргодическимразложением', оно определяется вероятностной мерой шр на I, для которой
2т
т0(А ) = Iim р
