Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы показали, что для каждого чистого гиббсовского состояния сг на (?, Ґ) существует такой класс [г], что мера и сосредоточена на множестве
QH = {? е [?nj] = [г] при любом п Є Z}.
Пусть ?, ?' Є и 0 < а < J; тогда (ta)^o > 0 и > О
для некоторых г, і' Є [г]. Так как (> 0, мы имеем (t2J)^a > 0. Отсюда видно, что ^1a ^ Ca и, следовательно, ?а и ^1a принадлежат одному и тому же классу [j]. Тем самым, TaQ^ С Аналогичным образом, TJ~aQ,tiiI С fiW, так что таГ2М =
Пусть а — множество таких классов [j], что = TaOM при а Є Z (или, что то же самое, 0 ^ а < J). Если [j], [к] Є а и [j] -< [к], то, как мы покажем, [j] = [fc]. Действительно, найдется такое а, 0 ^ а < J,
102 Глава 5
что = fi^'l и, следовательно, (ta)kj > 0 при некоторых j Є [j],
к Є [к]. С другой стороны, [j] -< [к] означает, что (tJ)jk > 0. Ho тогда fj.(l+l)a+lJ^^ ^ Q При всех целых I ^ 0. Взяв I = J- 1, получим к j и, значит, [j] = [к]. Таким образом, мы доказали, что различные классы [j], [к] Є а несравнимы.
Обозначим через fig”"* С fio объединение классов [j] Є а. Пусть — ограничение матрицы t на множество fig”-* х fig*"*. Положим
fl(a) _ g : = 1 ДЛЯ всех X Є Щ
и введем отображение вложения : OJr'1 , fi. Пусть И
Iim [?nj] = [j] и Iim [?nj] = [к]. Тогда [j] -< [к] и, следовательно, [j] =
Tl—— СЮ Tl—»оо
= [к], ? Є fi[Jl. Поэтому
р(°)fi(“) = (J fib'l. (5.7)
Ь']Єа
Теперь мы можем доказать теорему 5.2. Прежде всего ясно, что для любых j, к Є fig”'* найдется такое а > 0, что (ta)jk > 0 и, значит, система (fig“\ f(“)) транзитивна. Легко видеть, что F(“) является Z-морфизмом; здесь главное — проверить, что если ? Є fi(“), то Т,F(aС F(“)fi(“). Так как в силу (5.7) можно предположить, что є fi^l, мы действительно
получаем XF(„)? с fiM с fi(“).
Различные множества а классов [г] можно считать непересекающи-мися, что доказывает п. (а) теоремы 5.2. Вспомним теперь, что носитель каждого чистого гиббсовского состояния для взаимодействия Ф Є S§i на fi содержится в одном из множеств fiM и, следовательно, в одном из множеств
^(a)fi(a) Поэтому ограничение такого состояния на fi(“) является гиббсовским состоянием для ограничения взаимодействия Ф на множество ^ конечно}, т. е. для Ф. Это доказывает утверждение (Ь).
Утверждение (с) доказывается непосредственно.
Для доказательства теоремы 5.3 предположим, что система (fio, t) транзитивна, т. е. что имеется только одно а и fi = OJ0K Пусть N — число различных классов [j] в а. Тогда множества fi^l циклически переставляются под действием т с периодом N и (5.7) принимает вид
N-I
O=Ur-^fiN. (5.8)
р=о
5.6. Следствия теорем 5.2 и 5.3
103
Отображение х Nx является изоморфизмом группы Z на ее подгруппу NZ. Ограничение Z на NZ в (?, t) дает iVZ-решетчатую систему, которую (ввиду изоморфизма Z NZ) можно рассматривать как Z-решетчатую систему (Щ, t*). Здесь Щ = Г2[о,дг) и если ?, ?' Є fig, ? = (?о, Cl, • • •, 6v-i), <f = (?о> • • • > ?'n-i)’
мы полагаем t^, = t^N1^a. При /3 = 0, I, ..., JV — 1 положим
= {(?о, ?i, ¦ • ч Cn-і) Є Oq : ?/з Є [г]}. Если ?, ?' принадлежат различным Og3-*, то = 0. Пусть — ограничение t* на fig3"* х fig3^. Положим
Q1(P) — )Z ; = 1 при всех X Є Z}
и пусть : fi^ fi — отображение вложения. Тогда
_р(/з)^(/з) = т-/з^Н = Qbl
при некотором [j]. Так как N — делитель J, система (fig6^, t^) является перемешивающей в силу определения классов эквивалентности [j]. Теперь утверждение (а) теоремы 5.3 следует из (5.8). Чтобы доказать (Ь), заметим, что если Ф Є S§i(fio, t), то соответствующее взаимодействие Ф* на (О,*, t*) принадлежит S§i(fig, t*). Поэтому достаточно применить теорему 5.2(b) и доказанное выше утверждение, что чистое гиббсовское состояние сосредоточено на некотором fiM. Утверждение (с) доказывается непосредственно.
5.6. Следствия теорем 5.2 и 5.3
Пусть (Z, fio, (Од)лє^) — Z-решетчатая система и Ф — взаимодействие из SSi. Тогда
(a) если система (Z, fio, (Од)лє^) транзитивна, то существует единственное равновесное состояние4, которое совпадает с единственным трансляционно-инвариантным гиббсовским состоянием; его носителем является все пространство fi;
(b) если система (Z, fio, (Г2л)лє5?) — перемешивающая, то существует единственное гиббсовское состояние;
(c) в условиях теоремы 5.2 (при А Є cS)
Рф =тахРі?<“)*ф, P(A) = maxP(А о F^);
а а
4Единственность равновесного состояния можно доказать при несколько меньших ограни-
чениях на функцию А, чем условие А = Аф, Ф Є 38і. Cm. § 7.14.
104
Глава 5
(d) в условиях теоремы 5.3 при всех /3 рФ = м-1рР(Р)-ф^ = N-ip^A + AoT+ _ _ _ +Aqtjv-!) QF^)).
В транзитивном случае инвариантное гиббсовское состояние обязано иметь вид
N-I
/3=0
где сг — гиббсовское состояние, имеющее носитель в fiM, и, следовательно, единственное. В силу замечания 1.14 supper = fiW. Таким образом, существует самое большее одно инвариантное гиббсовское состояние, и его носитель совпадает с Q. Так как всегда существует по крайней мере одно равновесное состояние, из теоремы 4.2 вытекает утверждение (а). Утверждение (Ь) доказывается непосредственно, а утверждение (с) вытекает из вариационного принципа для P (см. теорему 3.12) и предложения 4.12(a). Наконец, утверждение (d) следует из (с) и предложения 4.14(b).
