Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рюэль Д. -> "Термодинамический формализм" -> 22

Термодинамический формализм - Рюэль Д.

Рюэль Д. Термодинамический формализм — Ижевск, 1995. — 281 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriteciskieformati1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 84 >> Следующая


найдем такие В Є Bq + и а Є Ib, что

HS - Soil ^ IlP(B0) - CT0(S0) - s(a0)}

а( [іЛІ_1 E АотХ]") -a(Af > ао ([іЛІ_1 E АотХ]") -Vo(A)2-Зє\\А\\2.

хЄЛ хЄЛ

Тогда

TOt7(A2)=^lim сг^|Л|-1 Yj А о TkJ j ^ с(А)2 + є 11 А| 12.

Л/Я°° шЄЛ

Отсюда следует, что найдутся а', а", принадлежащие носителю меры Toct, для которых cr'(A) ^ а"(А). Взяв S0 = (7, приходим к утверждению (а).

Предположим теперь, что сг0, CT0 Є Ic- Выберем 8 > 0 так, чтобы при С' ? is. \ \С' — С\ \ < 8 выполнялось неравенство

P(C)-G0(Cr)- S(G0) <Є2.

Положив B0 = С', получаем В Є С' + и с помощью (3.38) приходим к неравенству 11S — С"|| < є, что завершает доказательство.

3.21. Сосуществование фаз

В приведенных выше лемме и теореме мы ограничились рассмотрением взаимодействий Ф, для которых Ф(^|Х) = 0 при |Х| > 2|Д|. Такие взаимодействия принадлежат пространству 5$, которое будет введено в главе 4; они является «физически допустимым». В теореме 3.20 рассматривается ситуация, когда существуют по крайней мере два различных равновесных состояния. С физической точки зрения это соответствует сосуществованию по крайней мере двух фаз. Утверждение (Ь) теоремы 3.20 показывает, что взаимодействие Ф0 (или функция С), для которого существует несколько фаз, не может быть изолированным: оно принадлежит «бесконечномерному многообразию» таких взаимодействий. Следует проверить, что не все они «физически эквивалентны» (см. § 4.7). В связи с этим см. упражнение 2.
78

Глава З

Сосуществование по меньшей мере п + 1 фаз можно исследовать аналогичным образом. Пусть Al, ..., An Є ‘Йд и

П П

А = YaiAi’ r^e У1аі = !¦

г=1 г= 1

Выберем CTq0"1, CTq1^, ..., CTq""* Є I так, чтобы равенство

<т$\А)=<т?\А)= ...=4п\А)

не выполнялось ни при каких а\, ..., ап. Положив

П

I (*)

со = —г~г >

п + I и

г=0

получим неравенство

Tnao(Aj2) - CT0(A)2 > 4є||А||2

при некотором с > 0, не зависящем от аі, ..., ап. Пусть B0 ^ '(! и '? линейное пространство, порожденное функциями Ai и Ai ¦ (Aj о тх). Тогда существуют такое В Є B0 + SE, что

I |Б-ВоIК \\Р(В0) - CJ0(B0) - s(a0)\, и такое с Є Ib , что

\а(А-(Aotx)) - <j(A)2 - [<т0(А ¦ (А о тх)) - с0(А)2] К Зе||А||2 при всех ai, ..., ап и всех х Є TIj. Следовательно, справедливо неравенство

Uirj(P) - сг(А)2 > є\\А\\2,

доказывающее, что размерность Ib не меньше, чем п, и, значит, существует по крайней мере п + 1 фаз. И так же, как раньше, взаимодействие, для которого все это имеет место, не может быть изолированным.

Библиографические указания

Статистическая механика в условиях трансляционной инвариантности, изложенная в этой главе, была в основном развита физиками раньше, чем
Упражнения

79

теория гиббсовских состояний из глав 1 и 2. Существование термодинамического предела для давления было доказано в разных формах разными людьми, после чего постепенно возникло понятие равновесного состояния. Галавотти и Миракль [1] обнаружили важный факт (теорема 3.7 (Ь)), состоящий в том, что для массивного множества взаимодействий существует только одно равновесное состояние. Обсуждение понятия энтропии (параграфы 3.8-3.10) см. в Robinson and Ruelle [1]; по поводу вариационного принципа (теорема 3.12) см. Ruelle [1]. Параграфы 3.16-3.21 основаны на работе Израэля [1], которая недавно пролила некоторый свет на природу фазовых переходов.

Упражнения

1. Для х Є Ziy положим \х\ = max \хі\. Пусть 0 < А < 1. Если г) Є Cl,

І

ПОЛОЖИМ

d(?,, rj) = Xk, где к = inf{|rc|: ?х ф г]х}.

(a) Проверьте, что d — метрика, совместимая с топологией пространства Cl.

(b) Пусть 0 < а < 1. Функция А: Cl і—> М, для которой |А(?) — A{rj) =? ^ cd(i, rj)a при с > 0, называется гельдеровской функцией с показателем а. Такие функции образуют банахово пространство cSa(Cl) с нормой

или ( u/rti \А(0-А('П)\\

A a = max max A ^ , sup— --- .

V ? d(?, ryj )

Положим diamX = max{|y — х\: х, у Є X} и пусть в = А“/2. Докажите,

что если А Є cSa(Cl), то А = Аф, причем

SupfTdiam* вир|Ф(?|Х)| < оо.

X ?єп

оо

(Указание к п. (Ь): положим An = {х Є Hj: \х\ ^ п} и А = An, где

71=0

An Є cSa,, и IAnI ^ ||А||а(А")“; теперь можно действовать аналогично параграфу 3.2.)

2. Рассмотрим систему («решетчатый газ») с CIq = {0, 1} и Cl =

= {0, Ijz . Определим функцию А Є cS^о} равенством А(?) = (тем
80 Глава З

самым, А принимает значения 0 и 1). Будем рассматривать «парные» взаимодействия Ф, для которых Ф(^|Х) = 0, если |Х| > 2, и

ф(Шо}) = -М(0,

Ф(?|{0, х}) = If(X)A(Si)A(TxSi) при х ф 0.

Здесь Ц Є R и ср(х) = <р(—х) Є R определено для любого х ф 0. Заметим, что

ііФіі = н + |Еі^)і-

х=^0

(a) Пусть 0 Є M С Z", M конечно и M = —Al. Предположим, что дана функция ф: Al \ {0} н^ R, для которой ф(х) = ф(—х). Докажите, что ф можно так продолжить до функции ip: Uj \ {0} —> R, удовлетворяющей неравенству

Y W(X)I < оо,

хфО

что при подходящем ц у взаимодействия Ф существуют два равновесных состояния а' и а" с Crr(A) ф а"(А).

(b) Пусть Hq и IfQ определяют парное взаимодействие Фо- Предположим, ЧТО CTq и Gq — равновесные СОСТОЯНИЯ ДЛЯ Фо И ЧТО Cq(A) Ф CTq(A). Тогда для всякого є > 0 найдется такое й > 0, что имеет место следующее.
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed