Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
5.7. Теорема
Пусть Ф, Ф' Є Sfei для транзитивной Ъ-решетчатой системы up, p' — соответствующие равновесные состояния. Тогда р = р', если и только если существуют такие с Є M и С Є Ч>, что
Афі — Аф = с + С о т — С. (5-9)
В этой формуле постоянная с однозначно определяется по разности Ф' — Ф, а функция С — с точностью до аддитивной постоянной.
Если выполняется (5.9), то Р(Аф> +В) = Р(Аф+В) + с дшвеех В Є Чо (теорема 3.4) и, следовательно, р = р' (теорема 3.7).
Обратно, пусть р = р'. Вследствие выпуклости P мера р является равновесным состоянием для (1 — і)Ф + ЬФ' при всех *Є [0, 1]. Таким образом, мы оказываемся в ситуации параграфа 4.6: мера р — гиббсовское состояние для (1 — і)Ф + ЬФ' при t Є [0, 1] и, следовательно, при всех действительных t (последнее доказывается с помощью аналитического продолжения). Так как р — трансляционно-инвариантное гиббсовское состояние и наша Z-решетчатая система транзитивна, следствие 5.6(a) показывает, что мера/?— равновесное состояние для (1 — і)Ф + іФ! при всех действительных t.
5.7. Теорема 105
Пусть Ф = Ф' — Фис = р(А^). Тогда
max[s(cr) + сг(Аф) + ісг(Аф)] = s(p) + р(Аф+іу) = Рф + ct
cr€l
при всех t Є М. Отсюда следует, что сг(Аф) = с для всех сг Є I, или
Аф,-Аф=с + В7 (5.10)
где <т(В) = 0 при всех а Є І.В частности, если точка ? Є О. имеет период п, то
Tl— 1
ЕВИ)=°- (5-11)
J=O
Так как наша Z-решетчатая система транзитивна, существует точка г/ Є О с плотной орбитой Г = {ткг/: к G Z}. Определим на Г функцию С равенством
к-1
У" B(T1Vj), если к > 0,
C(Tkv) =
J=O
'Y^B(TirTj)1 если к < 0. j=k
Пусть tj', г)" Є Г и = г/" при I ж I ^ т. Если г/' = ткг/, ц" = т1г/ и к < I, то
г-i
CW')-CW) =YlB(TjV) j=k
и щ+х = Ш+х ПРИ M =? т- Для достаточно большого то существует ? Є Г2, для которого r;_fe? = ? и ?ж = % при к — m^x^l + m. Используя (5.11), получаем
г-i
С(гЛ-С(г/) = Е[В(т^)-В(т^?)]. j=k
Если (T^rj)x = (т^?,)х при I ж I ^ г, то
|B(rJr/) - B(TjS) I = !^M^) - ^?(^?)1 <
sup |Ф(^)|. (5.12)
\Х\їЄПх
ХЭО: diamX>r
106
Глава 5
Поэтому
OO
№')-cW)l^4]T Y м^ир|Ф(еж
г=тХЭ0: diamX>r ' '
< 4 •? iWs S"P !*«)!•
ХЭО: diam X>m * "
Так как Ф Є S§i, последнее выражение мало, если то велико. Отсюда следует, что С продолжается до непрерывной функции на Cl. Очевидно,
Cot-C = B.
Поэтому (5.9) вытекает из (5.10).
Из построения видно, что постоянная с единственна, а функция С определяется с точностью до аддитивной константы.
5.8. Перемешивающие Z-решетчатые системы
На основании теорем 5.2 и 5.3 мы можем сосредоточить внимание на перемешивающих Z-решетчатых системах. Итак, будем считать, что система (fio; t) перемешивает. Обозначим через Z^, Z^, Z> и Z< множества целых чисел, которые соответственно 0, ^ 0, > 0 и < 0. Положим
Cl^ = {? Є (Cl0)z^ : 1 ПРИ всех х Є
и аналогичным образом определим Cl^, Cly, CIk. Ограничив Ф Є ?$i(CIq, t) на подмножества пространств Zj>, Z^, Z>, Z<, получим взаимодействия
Ф>, Ф>, Ф<-
5.9. Лемма
(a) Существует единственное гиббсовское состояние сг^ {соответственно, сг^, <х>, <т<) на пространстве Cl^ (соответственно, на CIk,, Cly, CIk) для взаимодействия Ф^ (соответственно, для Ф^, Ф>, Ф<).
(b) Существует такое К > 0, что
х 0‘>№>)exp[-VFz<jZ>(^ V?>)] =Ka(d(^ V?>)), где a — единственное гиббсовское состояние для взаимодействия Ф на Cl.
5.9. Лемма
107
(с) Для всякого є > 0 найдется такое п(є), что если В Є ^?(0^ х Г2>), ||?>| ^la B(S^, ?>) не зависит от ?ж при \х\ < п(є), то
J V ?>))?(?<,?>)-
-JJ V^))<r(d(^ V ?"))5(?, ?")| <?.
Утверждение (а) доказывается так же, как единственность гиббсовского состояния с носителем в fjW, (см. § 5.5 и лемму 5.4), но с заменой Z на Z^> (соответственно, Z^, Z>, Z<) и [г] — на Oo-
Так как Ф?$і, функция ехр[—Wz<,z>] непрерывна взаимодействия на множестве ( 2, х і I.Отсюда, пользуясь определением гиббсовского состо-
яния, получаем утверждение (Ь).
Рассмотрим решетчатую систему (L, (ЄІх)хєь, (^л)ле^)> гДе L = Z = = Z^ U Z>, Ож = Оо,
= {{х, х+ 1}: х Є Z и х ф 0},
^{х,х+1} {(Сж? ?х+і). ^эСх+1 11-
Пространством конфигураций этой системы служит Cl. х і I >, а взаимо-
действие Ф* определим равенством Ф*(?|Х) = Ф(?|Х) при X С Z^ или X С Z> и равенством Ф*(?|Х) = 0 в противном случае. В силу определения гиббсовского состояния и утверждения (а) существует только одно гиббсовское состояние для Ф*, а именно, ® <т> (обобщение этой конструкции см. в упражнении 4 главы 2).
Теперь можно применить теорему 1.11(C) с функцией
> ?>) = ^ exP[-^Ok v ?>)] і
где W = Wz<,z>- Из утверждения (Ь) следует, что если В є ^(0^ х 0>),
11 ВЦ Sj 1 и -?>(?) не зависит от ?ж при \х\ < гг, то при достаточно больших п
J <r№<vt>mu,t>)-jj Ь) <§• (5.13)
Аналогичным образом, положив
Mtk > ?>) = i?re [J ст> (#>) ¦exP [ -V &)] ] х
х [J ^«)ехр[-^(?" V ?")]],
108
Глава 5
получим при достаточно больших п
JJ v^(dU)v>(d?,>)B(?,^, ?>)-
-JJ уЄ>)М<1(^ ve>))5(^, ?>)| < ?/2. (5.14) Сравнение (5.13) с (5.14) дает (с).
