Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
причем сходимость равномерна на компактных подмножествах пространства cS(Vly), в частности, на А.
Так как \\5?\\ = 1, достаточно доказать (5.23) в предположении, что B(Sy) зависит только от ?і, ..., Sn, где N — некоторое натуральное число. В этом случае по лемме 5.15 последовательность (SfnB) имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность. Пусть В — ее предел. Используя сначала (5.22), затем тот факт, что <т — чистое гиббсовское состояние, и теорему 1.11, и наконец (5.18), получим для всех С Є cS(Vly)
Sy ехр[—Wz<jz>(- У S>)
5.16. Предложение
Если В Є cS(Vly), то
Iim SfnB = ст(В о az ),
Tl—»оо
Iim А~п^пВ = (Ту(В)-фу,
(5.23)
(5.24)
ст у (фу -B-C) = Iim CTy (ф> ¦ SfnB ¦ С) =
= IimCTy (фу ¦ Sfn[B ¦ (С о (az>z> о г)")]) =
= Iim CTy (фу ¦ В ¦ (С о (az>z> о Т)п)) =
= limcr((В о аг>) ¦ (С оаг> от")) =
= а(В о az>) • а(С о az>) = а(В о az>) • <т> (-фу ¦ С).
5.17. Замечание
113
Из (5.19) и (5.20) теперь следует, что В — константа: В = а (В о a z>), и мы приходим к соотношению (5.23), а из него непосредственно вытекает (5.24).
Так как ||<5^”|| = 1 при любом п > 0, сходимость в (5.23) и (5.24) равномерна на компактных множествах.
5.17. Замечание
Множество XcZ будем называть (конечным) интервалом, если X =
= [к, 1} = {х\ к ^ х ^ I}. Для любого Ф Є Sfii найдется такое Ф* Є Sfii,
что
(a) Ф*(?|Х) = 0, если X не является интервалом,
(b) {7д = ?7д*, если Л — интервал,
(c) м = W®*M, если Ли M — интервалы,
(d) ііфЛі = ||ф*іїі < ||Ф||і.
Действительно, пусть Ф* удовлетворяет условию (а) и Ф*(?|[&, Z]) равно сумме величин Ф(?|Х) по всем множествам X, для которых к и I являются соответственно наименьшим и наибольшим элементами. Тогда свойства
(Ь) и (с) очевидны, a (d) вытекает из (5.1) и (5.2).
С учетом (Ь), (с) и (d) для целей данной главы было бы достаточно использовать вместо пространства Sfii подпространство Sfi* С Sfi, состоящее из взаимодействий, удовлетворяющих условию (а).
5.18. Экспоненциально убывающие взаимодействия
Пусть Sfie = Sfie(7L, Пен (^л)лє.^), гДе 0 < в < 1, — банахово пространство трансляционно-инвариантных взаимодействий Ф, для которых Ф(?|Х) =0, если X — не интервал, с нормой
||Ф||0 = supfTdiamX sup |Ф(?)| < оо. (5.25)
X
Такие взаимодействия мы будем называть экспоненциально убывающими. Если разрешить Ф принимать комплексные значения, мы получим вместо Sfie комплексное банахово пространство Sfiec с нормой (5.25).
Заметим, что Sfid С Sfii и
114
Глава 5
Если множество M(O) в определении Z-морфизма F: (Z, Og, (Пд/)л'є^') (? ^o, (Ол)лє^О является интервалом (такой выбор M(O)
всегда возможен) и Ф Є SM9, то -F*Ф Є Oq, (0д,)л'є5?')- Нетруд-
но проверить, что ограничение Z на некоторую подгруппу NZ заменяет Ф Є Sfie на Ф* Є Sfie , где в' = On. Поэтому можно применять теоремы 5.2 и 5.3, не покидая области экспоненциального убывающих взаимодействий. Учитывая это, мы часто будем ограничиваться перемешивающими Z-pe-шетчатыми системами.
Для последующего заметим, что отображение Ф н-> F^*Ф* из теоремы 5.3 линейно и непрерывно на пространстве ?$е(Оо, t), переводит его в SSe (Op1*3\ t^) и продолжается до С-линейного непрерывного отображения (о0, t) t).
5.19. Пространство и связанные с ним пространства
Для А Є cS (соответственно для А Є cS(Jly)) положим
YainA = sup{|A(?) - А(?')|: Sx =SL ПРИ M < п}
(соответственно,
var„ А = sup{|A(?>) - А(?>)|: Sx = SL при 1 < х < п}).
Обозначим через S'® (соответственно через S'у) подпространство пространства cS (соответственно ^?(0>)), состоящее из функций А с
ЦАЦ# = sup((9-2”-1 var„ А) < оо
п^О
(соответственно
11 А\\д = sup(6>“" var„ А) < оо).
ra^l
Эти величины определяют нормы на фактор-пространствах Fe и F01 пространств Se и З'у по подпространству постоянных функций, причем Fe и F0i являются банаховыми пространствами относительно этих норм, а и — банаховыми пространствами относительно нормы
|||А|||0 = max(|IА||, ||А||0).
Аналогичным образом можно определить комплексные банаховы пространства Fc’ Fc>> состоящие из комплекснозначных функций.
5.20. Предложение
115
5.20. Предложение
Образом пространства 3>в при отображении Ф н-> Аф является пространство .
Если Sx = Sx nP11 IxI ^ пі то
MO - MO) = Е*(ф№) -
X
где суммирование ведется по всем таким X, что 0 является «средним» элементом множества X в лексикографическом порядке (см. § 3.2) и diamX > 2п. Поэтому
var„A$< E 2||Ф| \ввк =2Ш^--в2п+1
к=2п-\-1
и, следовательно, АФ Є ,9'0.
OO
Обратно, если А Є &в, то А = E M где An є и
71=0
WAnW < var„_i А при п > 0. Поэтому А = АФ, где Ф Є SB9 выбрано так, что Ф(?|[—п, п]) = — An(S) и Ф(?|Х) = 0, если X не получено сдвигом из некоторого интервала \—п, гг]. Для дальнейшего заметим, что отображение А і—> Ф может быть выбрано линейным и, следовательно, имеющим С-линейное непрерывное продолжение ёёвс.
5.21. Теорема
Предположим, что система (?! t) транзитивна. Пусть А, А' Є Se и р, р' — соответствующие равновесные состояния. Тогда р = р' в том и только том случае, когда существуют постоянная с Є M и функция С Є , для которых
