Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
5.21. Следствие
Предположим, что система (?, t) транзитивна. Тогда функция P на
— Й ~ пространстве & является вещественно-аналитическои.
Представим отображение A ни P(A) в виде
A ни Ф Рф = Р(АФ) = P(A)7
где Лиф продолжается до аналитического отображения ,t^e ни (см. замечание в конце доказательства предложения 5.20).
120 Глава 5
5.28. Дзета-функция
Для любой Z-решетчатой системы (?, t) и любой функции А Є cS положим
Fixrm = {? Є fi: ттС = ?},
т— 1
Zm(A, т) = Y exP E Mrfkx)
a^GFixT™ к=0
и введем степенной ряд
OO
(r(zeA) =ехр Y Zm(A, t)j^. (5.32)
m=l
По теореме 5.2 каждая т-периодическая точка содержится в одном из множеств _F(“)f2(“). Поэтому (т( zeA) разлагается на множители, соответствующие транзитивным Z-решетчатым системам. В случае, когда система (?! t) транзитивна, из теоремы 5.3 следует, что Zm(А, т) = 0, если то не кратно числу N, и
ZnN(A, r)=NZn(A + AoT + ... +Aoriv-1IO^, TivIfiw),
(T(zeA) = (TN\QW)(zN ехр(А + Aot + ... +Ao 1^fiw).
Величина Zn(A, т) — это статистическая сумма с периодическими граничными условиями. Методы главы 3 показывают, что если система (fio і t) перемешивает, то
Iim ^log Zm (А, т) = P(A).
т—>оо
Следовательно, степенной ряд (5.32) сходится при |z| < ехр[—P(A)] к некоторой голоморфной функции. В силу пунктов (с) и (d) следствия 5.6 это утверждение остается справедливым даже для случая, когда система (fio, t) не является перемешивающей или транзитивной. Нетрудно проверить, что при z = ехр[—P(A)] ряд (5.32) расходится. Таким образом, радиус сходимости ряда (5.32) равен ехр[—P(A)] и при \z\ < ехр[—P(A)] этот ряд определяет голоморфную функцию, которая называется дзета-функцией (ассоциированной с функцией А).
Сейчас мы покажем, что если функция А принадлежит пространству ,^e, то область аналитичности дзета-функции может быть расширена.
5.29. Теорема
5.29. Теорема9
121
Пусть (?! t) — перемешивающая система и А Є Se. Тогда суще-стеует такое R(A) > ехр[—P(A)], что
А\-1
¦ ехр
т — 1
-J2in Y exP E А(тко
in = I ^eFixrm
к=О
продолжается до аналитической функции в круге {z: \z\ < Д(^4)} с единственным нулем; этот нуль находится в точке z = ехр[—P(A)] и является простым.
Согласно предложению 5.20 А = Аф, где Ф Є SB9. Положим
фН(Х)
Ф(-Х'), если diamX <
О,
если diamX > га.
Тогда
\\Аф - Aj>(„)|| < Y = Nlefr
1>П
Для целых то ^ 1, п ^ 0 положим
QU + 1 1
т — 1
i(m) = Y exP Y Л<Утк0’
JCTrn
к=О
т—1
Ъ(т, га) = Y exP Y АФЧ(тк0
^GFixrm
к=О
Y ехр
^GFi XTrri
т—1 п
YY^k'к+
к=0 I =О
Нетрудно проверить, что справедливо неравенство
а то
Ъ(т, п)
1
ІФІ
1-І
-твп+1\ -1
4Эта теорема анонсирована в работе Рюэля [6]; см. также упражнение 7.
122 Глава 5
Пусть а Є (0, 1). Если п = [am] (целая часть числа am), то
h(aM n-l| < (І^тГ)ехр(^тГ). (5.33)
b(m, [am\) \l — v J VI—# J
Очевидно,
OO OO
Г % л I % л
d,A(z) =expl— 2_^ b(m, [am])—I exp [-a(m) + 6(m, [am])] — .
m = l m = l
Если r — радиус сходимости первого ряда в правой части этого тождества, то в силу (5.33) второй ряд сходится при |z| < г/ва. Поэтому достаточно доказать теорему для
OO
d (z) = ехр — У b(m, [am]) —
т = 1
вместо cIa(z).
Определим на пространстве „]) оператор равенством
(L(n)B)(?:ь ¦ ¦ ¦, Cn) =
= • • • ’ ^"-i)ехР[_^{о}(Со) - W{o},{і,n}(^o V?i... V?„)].
Co
Определим обычным образом след оператора, действующего на конечномерном пространстве <Й’(Г2[іі „]). Нетрудно проверить, что tr = Ъ(т, п). Следовательно, Ь(т, п) можно оценить в терминах собственных значений оператора L(ny Заметим, что каждое собственное значение оператора I. („ ; является собственным значением оператора : ^с>> 0ПРеделен‘
ного как оператор .rZ для взаимодействия Ф-" '. Мы знаем из доказательства теоремы 5.26, что отображение Ф н-> — целая аналитическая функция на
пространстве -Zl0s, где 9' > в. В частности, существует такое г' > 0, что при достаточно больших п оператор ї?(п) имеет только одно собственное значение, по модулю превосходящее г,_1. Это собственное значение А(и) — положительное и простое; при п —> оо оно стремится к А = ехрРф. Следовательно, при достаточно больших п
IЪ(т, п) -A^ < [Olliи] [ • г'~т.
Представим d!(z) в виде
OO OO
d!{z) = ехр ^ 53 ^a(M)2O"1)) exP E (-Km' \ат\) + A([am])) Ж-
т=1 т=1
5.30. Замечание
123
Радиус сходимости первого ряда равен Л-1, а второго — не меньше, чем г'/1OoI“- Взяв а, для которого //|Оо|“ > А-1, мы видим, что утверждение теоремы достаточно доказать для
OO /л \ ууі
d"{z) = ехр(- Y ~шг) exP E ("Ла«™]) + дт) In-
т = 1 т=1
Первый множитель здесь равен exp log(l — Xz) = I — Xz. Чтобы исследовать второй множитель, мы воспользуемся неравенством
1Л([«™]) - AmI < m • (max(A, A^])))"1-1 • |А([ат]) - А|.
В силу теоремы 5.26 функция Ф н А аналитична на пространстве -'Ail. Заменив в на 0', где в < 9' < 1, получим
|А(„) -А| <СИ|Ф-Ф(п)||е',
||Ф-Ф(">||в, <(0/0')"+1||Ф||е.
