Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
5.10. Теорема5
Пусть Ф — взаимодействие из класса Sk \ для перемешивающей rL-решетчатой системы (?, Ґ) и а — единственное гиббсовское состояние. Если Cl содержит больше одной точки, то динамическая система (Cl, а, т) изоморфна сдвигу Бернулли.
Очевидно, множества 21^ = Є Cl: = *} образуют некоторое разби-
ение '21 пространства Cl. Согласно теореме Фридмана-Орнстейна (см. приложение А.4.6) достаточно показать, что разбиение $1 является слабо-бер-нуллиевским для системы (Cl, а, т). Это означает, что для любого є > 0 найдется такое п(є), что при всех п ^ п(є) и k, I ^ 0
I («[—п— к, — п]и[п, n+l\v)\V V С}
•п, С
- (ai-n-k,-n]C){Vi} ¦ («[гг,гг+г]Ст){С} < ?- (5.15)
Пусть В (г, V Q равно ±1 в зависимости от знака разности в левой части (5.15). Если ?^|[—п — к, —гг] = г/ и S> | [гг, п + I] = (, положим B(U, Ь) = В(г] V С). При таком выборе функции В неравенство (5.15) вытекает из леммы 5.9(c).
5.11. Трансфер-матрица и оператор
Представим ^ е в виде ^ = ?о V ?>, где ? O0, ?> Є Cly, и по заданной мере /і на Cly определим меру Ш'/і на Cl,.. равенством
(9Л»(А) =Y1 [ Kdb)A(So ve>)exp[-[7{0}(e0) - WiohzJSo V?>)].
йо J
5Cm. Галавотти [1], Ледрапье [1].
5.11. Трансфер-матрица и оператор 5? 109
Из определения гиббсовского состояния вытекает, что мера дЛ'гг.......... пропорциональна гиббсовскому состоянию для на Ot................................ В этом можно убедиться
следующим образом6.
Введем статистические суммы
Z([0,n])rj = ^ ' ехР[ ^[0, га] и], [га+1, оо) (С[0, п] ^Т])], Tj Є fi[n+l,oo)>
?[0. и] ЄГ2[о. и]
Z([l,п])п= E ЄХР[-^[1,га] [ra+l,oo)(?[l,n] V??)], Г) Є fi[n+l,oo)-
?[1. П.]
Положим <т* = ШТ*а>. Из определения а* и а> непосредственно выводится, что при всех п
О (I) J (^[тг+1, оо)сг>)(^)-^'([0, п\)г}/^([1, п\)т}
И При ВСЄХ ^Q5 п] Є П[0)П]
[0, гг] ){?[0, n]} J (^[тг+1 , OO
ехр[-{7[0;П] - VF[0;n]; [п+1,оо)(?[0,п] V Tj)] Z([0,п])п Z([0 ,п])п Z([l,n])n
Отсюда видно, что для вероятностной меры а = а*/а*( 1) при Л = [0, п] ВЫПОЛНЯЮТСЯ СООТНОШеНИЯ (1.14), (1.15), В ПерВОМ ИЗ КОТОрЫХ рОЛЬ (Tiдл
играет вероятностная мера (аг„+і 0о)(7>)(^) ( ^0, \. Ho если это
O-(I)
верно для Л = [0, п], то верно и для любого Л С [0, п] (ср. § 1.6). Поэтому в соответствии с определением из § 1.5 мера сг является гиббсовским состоянием для Ф^ на
Тогда, по лемме 5.9(a),
Ж* ст> = AcTjs
при некотором Л > 0. Определим отображение т-1: н-> Г2>, следуя
параграфу 3.1. Очевидно, т-1а^ = <т>. Пусть J?* = т_19Я*. Тогда
іГсг> = Асг>. (5.16)
^Приводимое ниже рассуждение добавлено при переводе. — Прим. ред.
110
Глава 5
Оператор !?*, действующий на меры, называется трансфер-матрицей. Сопряженный к нему оператор !? на V/fO..) определяется равенством
(^А)(?>) = П>))ехр[-Е/{о}(?о) - о},2>(Єо ve>)].
Заметим, что
^[A-(Boaz>z>or)]=(^A).B (5.17)
для любых А, В Є lTo (Г2>).
Как мы увидим в дальнейшем, изучение оператора ?? приведет к важным результатам, касающимся гиббсовских состояний и давления экспоненциально убывающих взаимодействий.
5.12. Функция 'ф>
Определим на пространстве і 1. функцию х\... положив
Ф>{?,>) = ^ J CT<(d?<)exp[-Wz<,z>(?< V?>)],
где К — постоянная из леммы 5.9(b). В силу этой леммы при всех А е ^(П>)
а>(ф> ¦ A) = а(Ао az>); (5.18)
в частности, сг> (?/>>) = 1.
Так как система (?, t) — перемешивающая и гг........ гиббсовское состояние для Ф....................................... (соответственно, <т> — гиббсовское состояние для Ф>), мы
знаем, что
supper^ = suppcr> = Г2> (5.19)
(см. замечание 1.14). Из определения ф> видно, что
(5-20)
при некотором d > О.7 В силу (5.17) и (5.18)
а>((%ф>) ¦ В) = о->(^[^> • (В oaz>z> от)]) =
= Л<т>(-0> • (В о az>z> о т)) = Xa(В о аж>) = <х>((А^>) • В),
7Cm. (5.3). — Прим. ред.
5.13. Предложение
111
откуда, используя (5.19), получаем
= А ф>.
(5.21)
5.13. Предложение
Для собственного значения А операторов !? и !?*, определенного в (5.21) и (5.16), справедливо соотношение
- Щ-п+1,0}, z> (?-п+1 V ... v?0ve>)] = РФ.
5.14. Оператор
Ввиду (5.20) равенство
определяет ограниченный оператор Sf на cS (С2>). Очевидно,
У1 = 1,
IogA = РФ.
В силу (5.20) и теоремы 3.4
IogA= Iim log ^"^(^) = Iim Iog(^nI) (?>) =
n—>0О tl TL—>00 tl
= Iim ту log V ехр[-[/{_„+1 0}(^_„+1 V . .. V?0)
TL—^OO 11 ‘ J
С-и+1 ¦ ¦ ¦ Co
и, следовательно,
ИI = і-
Заметим также, что в силу (5.17)
Уп[А • (В о (az>z> о Т)п)} = (УпА) ¦ В,
(5.22)
если В Є cS(Cly).
112
Глава 5
5.15. Лемма
Функции
I
4(?<)exp[-Wz<1z> (?< V ?>)]
где А Є ^(Vl^) и ЦАЦ ^ 1,равномерно ограничены и равностепенно непрерывны на пространстве Vly.
Пусть А — множество таких функций. Тогда SfnB Є А, если В Є cS(Viy), Ц-ВЦ ^ 1 и B(Sy) зависит только от ?i, ..., Sn-Отображение і 1 и-> ' (.(VI,), определенное соответствием
непрерывно. Отсюда следует ограниченность и равностепенная непрерывность. Включение -SfnB Є А проверяется прямым вычислением.
