Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
А' - A = с+С от - С. (5.26)
Выбрав такие Ф, Ф' Є Sfie, что А = АФ и А! = АФ> (см. предложение 5.20), мы оказываемся в ситуации теоремы 5.7 и должны лишь доказать, что если Ф, Ф' Є Sfie и р = р', то имеет место равенство (5.26) с С Є Se. Для этой цели воспользуемся конструкцией функции С в доказательстве теоремы 5.7.
116 Глава 5
Если (T^rj)x = (tj?)x при \x\ ^ r, r ^ 0, то вместо (5.12) имеем
\В(т^г)) — В(т^)\ = \Аф{т^г}) — A^(tj?) ^
°° °° 91 I \Т/ I I
<2 sup |Ф(0|<2||Ф||е 53 es = A_^_e2r+ii
s=2r+l *] s = 2r+l
откуда следует, что
IC(VO-CV)I < V e2r+1 = —4||ф||е , A2m+1.
(1 — 6»)(1 — 6»2)
Тем самым, С Є ,sPe.
5.22. Замечания
(a) Если система (?, t) — перемешивающая, то (5.26) эквивалентно равенству
53И(А' - А) о т*{А> - А)) - [р(А' - А))2} = О
X^lI
(см. упражнение 5(c)).
(b) Отображение <5: С \ ¦ С о т С непрерывно на пространстве Fe и переводит его в некоторое замкнутое подпространство. Из доказательства теоремы 5.21 видно, что существует непрерывное обратное отображение
,J-1: SFe ^ Fe.
5.23. Лемма
Пусть Ф Є Sfee (?, t), где (?, t) — перемешивающая система. Тогда
(a) функции фу и ("0>)-1 принадлежат пространству ;
(b) если А Є SPy, то
varfc SfnА < Ci vain+k А + С20к \ А\\,
где с\, С2 — постоянные (зависящие от Ф и в).
Вначале заметим, что если А, А! є SPy ,то А - А' є S'у и
5.24. Предложение
117
Кроме того, если А Є Sy и inf |А(?>)| > 0, то A 1G Sy и
(5.28)
При любом к справедливо неравенство
OO OO
21|Ф||е Qk +1 (1 -в?
varfc Wz<,z> (?< V •) < 2||Ф||е E E QmjrIi
(5.29)
т=0 п=к+1
Поэтому определение функции ф> (см. §5.12) дает включение ф> Є Sy. Из (5.20) и (5.28) теперь получаем (гД>)_1 Є Sy, что доказывает (а). Согласно параграфам 5.11 и 5.12
где с — постоянная (зависящая от Ф и в). Это неравенство вместе с (5.27) приводит к утверждению (Ь).
Пусть Ф Є Sfee (CIq , і), где (?, і) — перемешивающая система. Тогда оператор Sf отображает пространство S'?> в себя и определяет ограниченный оператор S на банаховом пространстве F^, введенном в параграфе 5.19, со спектральным радиусом, строго меньшим единицы.
Из леммы 5.23 вытекает, что ¦'/ отображает пространство S1I в себя. Так как Sf \ = 1 (см. §5.14), то, перейдя к фактор-пространству по подпространству констант, мы получим отображение S: Fy ^ Fy. В силу пункта (Ь) леммы 5.23
A~nS?n(ipy ¦ A) = ± j
VarfcA пі?п(фу - А) < |-0>|| var„+fc А + свк\\А\\,
5.24. Предложение
varfc Sn A ^ Ci var„_|_fc A + C^dk varg А.
(5.30)
С другой стороны, так как множество
118 Глава 5
компактно в <Й’(Г2>), из предложения 5.16 следует, что для любого <5 > О найдется п, при котором
var0 SnA < <5||А||0. (5.31)
В силу (5.30) и (5.31)
varк S2nA = Ci vai'n+fc SnA + с2вк varo SnA ^
< ci(ci var2„+fc А + с2вп+к Var0 A) + C2OkSWAWe <
< {с2в2п + ClC2On + с25^Щ\ввк
и, следовательно,
\\S2nA\\e < (с2е2п + C1C2On + c25)WAWe.
Если 8 выбрано достаточно малым, а п — достаточно большим, то норма оператора S2n: н-> F^ строго меньше единицы. Ho тогда и спектраль-
ный радиус оператора S меньше единицы.
5.25. Замечание
Из того, что спектральный радиус оператора S меньше единицы, вытекает экспоненциальное убывание корреляций (см. упражнение 4(c)).
5.26. Теорема
Предположим, что (?\ь t) — транзитивная система. Тогда функция Ф Рф на Sfie является вещественно-аналитической функцией.
Предположим сначала, что система (Qoj t) перемешивает. Если Ф Є то формула8
(J^A) (?>) = ^A(r-1(eoVe>))exp[-[7{0}(e0) - Wioj^iSo V?>)]
йо
определяет ограниченный оператор !? на пространстве J..... и Ф — !? явля-
ется целой аналитической функцией из пространства S$q в пространство
8Cm. § 5.11; различные банаховы пространства, используемые здесь, определены в параграфах 5.18 и 5.19.
5.27. Следствие
119
ограниченных операторов на ^с>- ® самом деле, для любого ?о отображение пространства в задаваемое формулой
Ф {?> U[о}(?о) + W{o},z> (Co V ?>)},
является С-линейным и непрерывным и, следовательно, аналитическим, а так как функция exp: ^с> также аналитична, аналитическим
является и отображение
ф ехр[-Um(Si0) - VF{o}jZ>(?o V?>)]}
пространства Sfe^ в Отсюда и из (5.27) вытекает аналитичность отоб-
ражения Ф и-> .?5.
Если Ф вещественно, т. е. Ф Є Sfee, то
1?А = Х-ф>- ,9^-1 ¦ А)
и предложение 5.24 показывают, что спектр оператора !? состоит из {А} и множества, содержащегося в круге {z: \z\ ^ Al}, где Ai < А. С помощью стандартного рассуждения отсюда выводится, что отображение Ф ни А, а следовательно, и Ф и Рф продолжается до аналитической функции в окрестности множества Sfee С Sfe^.
Общий случай транзитивной системы (Qo) t) сводится к случаю перемешивающей системы при помощи теоремы 5.3. Действительно, согласно следствию 5.6(d)
рф _ Jy-1^р.Р^*Ф*
а отображение Ф ни F^*Ф*, как отмечено в параграфе 5.18, продолжается до С-линейного, непрерывного и, следовательно, аналитического отображения пространства 0B^(Qo, t) в t^).
