Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ye-ipxHB1 - (1, Bi)), Vx(Bi - (1, Bi))).
6. Пусть (Оо, t) — Z-решетчатая система. Тогда
(a) для любой непрерывной функции А: Cl н-> С радиус сходимости степенного ряда в правой части равенства
сю т — 1
(T(zeA) = exp Y In E ехр E А(тк0
771 = 1 ^eFixrffi к = О
(а также ряда для ^T(ze^)_1) не меньше, чем ехр[—P(ReA)];
(b) функции A H^- Сг(ел) и 4н ^(е^)-1 голоморфны в «выпуклой цилиндрической области» {A: P(ReA) < 0} банахова пространства непрерывных функций А: Cl —> С.
7. Пусть (Oo5 t) перемешивающая система. Тогда на пространстве ^ существует такая действительная непрерывная функция R, что
(a) R(A) ^ ехр[—P(ReA)];
Г 00 m m I "I
(b) если dA(z) = exp - Y, ж S exp E A(TkS) , то функция
L гп= I ^GFixr7" Zc=O
(г, А) н->• dA(z) аналитична в области
130 Глава 5
(с) если функция А действительна, то R(A) > е~р^ и функция йл(-) имеет только один нуль в круге {z: \z\ < І?(А)}. Этот нуль находится в точке z = ехр[-P(A)] и является простым.
[Утверждение (с) следует из теоремы 5.29, в которой R > е~р, a R можно считать непрерывной функцией на S'®: следуя доказательству этой теоремы, положим
R(A)
где
е-р{А)IQii = Г'/|ПО|0 если /3 ^ Ij
е~Р(А)/0, если /3 > 1,
log г' + P(A)
log IO01 - log в
В силу упражнения 6 функция (г, А) ни cIa(z) голоморфна на множестве {(z, А) Є С х \z\ < ехр[—P(ReА)]}. Представим функцию А Є в виде А = В + іС, где В, С G S'®. Пользуясь теоремой 5.29 при действительных t и упражнением 6 при остальных t, мы можем оценить производные
An
j-^dB+tc(z)\z=о, (*)
а затем с помощью конформного отображения и формулы
2тг
(теорема Йенс єна) получить новые оценки этих производных. Благодаря этому функцию R можно продолжить непрерывным образом с S'® на S'^ так, чтобы выполнялись условия (а) и (Ь).)
8. Пусть O0 = {0, 1} и взаимодействие Ф определено равенством
{<Р\х\, если X — интервал и ?х = 1 при всех х Є X,
О в противном случае.
Пусть
П OO
Wn = ^(гг - fc + 1)(/?, C = Y1Pk-к=1 к=1
Упражнения 131
Проверить, что
СЮ Ш—1
Х>т E exp^A$(rfcO=-^[log(l-^)+log(l-ze-c)+
т = 1 ^Fixrtn к=О
CXJ
+M1
zke-wk
к= 1
и, следовательно,
сю
фИ)-1 = (1 _ ге-с) [і - z(l + ^
к = 1
(Введенный здесь потенциал соответствует модели Фишера [1], см. также Галлавотти [2]).)
9. Пусть Ф Є 5§e(fio, i)> гДе (?, t) — перемешивающая система, и сг — соответствующее гиббсовское состояние. Для А Є Se и конечного интервала AcZ положим
АлЮ НЛГ1/2 E - ^4)Ь
XGA
D = Y Ha ¦ (А ° r^)) - °(Af] = d2(a, ^4) 5s 0.
Пусть 7 — гауссовская вероятностная мера (1/л/2тгО)е-і /2Ddt на М, если D > 0, и вероятностная мера <5о, сосредоточенная в точке 0, если D = 0.
(a) При всех целых п ^ 0
Iim CT(Ai") = Iim ^(A2"+1) = 0.
|Л|—»оо Tl! ^ |Л|—»оо
(b) (Центральная предельная теорема.) При |Л| —> оо мера A^a слабо сходится к 7. В действительности, если функция ц>: M —> M растет не быстрее, чем полиномиально, то (A^cr)(Lp) —> 7(Lp).
(c) (Обобщение.) Для A= (Al, ..., Am): О —>Rm, где Al, ..., Ате^в, положим
Aa(O = IAI-1Z2X) Mi-aO
х?А
dH = E Ha* • (Аі ° t^) - = °ЧАг, Aj)-
х^Ъ
132
Глава 5
Тогда матрица (Dij) неотрицательна. Предположим (для простоты), что она имеет обратную матрицу (Aij). Пусть 7 — гауссовская вероятностная мера
Тогда (Aact) (ip) —> 7(ip) при |Л| —> оо для любой непрерывной функции (р: Mm н-> R, которая растет не быстрее, чем полиномиально.
[Заметим сначала, что D = D2(A, A) ^ 0 в силу упражнения 5, причем D = 0 только тогда, когда A = с+ Сот — С, где с Є R, С Є . Утверждение (а) вытекает из упражнения 4. Далее,
поэтому (Aa<т)(<р) —> 7((/5), если (/5 — многочлен, и утверждение (Ь) вытекает из того факта, что мера 7 однозначно определяется своими моментами. Наконец, утверждение (с) можно легко доказать с помощью теоремы Вика (см., например, Саймон [1], предложение 1.2).]
(2тг) mI2 (det(Aj)) 1/2 exp^-i Yj AijUj) Clt1... dt,
2n+l
) = 0;
Глава 6
Обобщение термодинамического формализма
В этой главе мы распространим некоторые результаты предыдущих глав на более общий случай. Доказательства будут изложены кратко, но при этом будут даны ссылки на соответствующую литературу (в самом в тексте или в библиографических замечаниях в конце главы). Обобщение заключается в замене пространства конфигураций О более общим компактным метризуемым пространством Г2, на котором группа Z" действует гомеоморфизмами.
6.1. Основные определения
Пусть Г2 — непустое компактное метризуемое пространство и х —>¦ тх — представление группы Uj гомеоморфизмами пространства Г2 (т° — тождественное преобразование и тх+у = тхту). Обозначим через cZo банахову алгебру cZo(Sl) непрерывных действительных функций на H с равномерной нормой. Вероятностные меры на Г2 (называемые также состояниями) образуют выпуклое компактное метризуемое подмножество слабо дуального к Чо пространства '(Г ('(> ’ состоит из действительных мер на Cl и снабжено слабой топологией). Множество I инвариантных относительно т состояний выпукло, компактно и является симплексом Шоке (см. приложение А.5.5). Крайние точки множества I называются эргодическими состояниями, и так как I — метризуемый симплекс, каждое состояние а Є I допускает единственное разложение на эргодические состояния, называемое эргодическим разложением (см. приложение А.5.6).
