Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому радиус сходимости ряда
OO
El лш m Z"*
ПИ) л ) Ta
т=1
не меньше, чем (А • (в/в')а)~1, а так как мы можем устремить в' к единице, не меньше, чем I / AOa. Это завершает доказательство теоремы.
5.30. Замечание
Функция z і— Ci(Zca), вообще говоря, не допускает мероморфного продолжения на всю комплексную плоскость. В работе [2] Галлавотти построил контрпримеры того типа, что описан в упражнении 8.
Библиографические замечания
Основным фактом статистической механики одномерных систем является «отсутствие фазовых переходов». В частности, существует только одно гиббсовское состояние: это верно для перемешивающих систем и взаимодействий из пространства Sk \ (см. следствие 5.6(b)). Единственность
124
Глава 5
гиббсовского состояния была независимо доказана Рюэлем [2] с помощью метода трансфер-матрицы и Добрушиным [3], применившим другие методы. В этой главе мы обобщили идею Добрушина и выяснили структуру гиббсовских состояний, не предполагая перемешивания (см. теоремы 5.2 и 5.3). Заметим, что случай взаимодействий конечного радиуса, сводящийся к теории марковских процессов, уже давно был понят физиками. Напомним также, что перемешивающие системы с «дальнодействием» (Ф Є \ могут иметь несколько гиббсовских состояний, как это видно из параграфа 3.2110.
Любопытная теорема 5.7 и ее специальные случаи — теорема 5.21, следствие 7.10(c) и замечание 7.11 — появились в работах Лившица [1], [2] и Синая [4] (см. также статью Боуэна [6]).
Трансфер-матрица, отвечающая взаимодействию Фейі, сопряжена с оператором SE; для трансфер-матрицы справедлив аналог теоремы Перона-Фробениуса11. SE имеет положительное собственное значение, которое совпадает со спектральным радиусом; это собственное значение равно ехр Рф. Спектральные свойства SE связаны с кластерными свойствами гиббсовского состояния и аналитическими свойствами дзета-функции. Приведенные факты оправдывают изучение оператора SE, которое мы провели при помощи нового метода.
Единственность гиббсовского состояния — это один аспект «отсутствия фазовых переходов» в одномерных системах. Другой его аспект проявляется в вещественной аналитичности давления Р, ограниченного на подходящее подпространство взаимодействий. Мы рассмотрели экспоненциально убывающие взаимодействия и установили аналитичность функции Р, показав, что ехр Рф является изолированным собственным значением оператора SE (здесь мы использовали идею работы Араки [1] по одномерным квантовым спиновым системам; см. Синай [4] и Рюэль [5], приложение В). В параграфе 5.28 была введена дзета-функция для подсчета т-периодических точек, взятых со стандартными для статистической механики весами. Она имеет полюс в точке ехр(—Рф), соответствующей собственному значению ехр Iyb оператора SE. Другие свойства систем с экспоненциально убывающими взаимодействиями будут приведены в упражнениях (в частности,
1tlB параграфе 3.21 мы следовали Израэлю [1], который доказал существование взаимодействий (без их явного построения) с несколькими гиббсовскими состояниями. Простые примеры таких взаимодействий были ранее известны благодаря работе Дайсона [1]. Другие примеры получены в моделях Фишера [1] и кратко изложены в упражнении 8.
11Cm., например, книгу Гантмахера [1].
Упражнения
125
экспоненциальное убывание корреляций). Эти свойства окажутся полезными при изучении пространств Смейла в главе 7.
Хотя сильное условие на взаимодействие типа экспоненциального убывания кажется необходимым для доказательства того факта, что ехр Рф — изолированное собственное значение оператора !?, аналитические свойства давления P можно получить при менее ограничительных условиях. Это следует из одного красивого и довольно неожиданного результата Добру-шина [4]. К сожалению, его доказательство является трудным, а условия, наложенные на решетчатую систему, — по-видимому, слишком точными. Поэтому за формулировкой доказательством теоремы Добрушина мы отсылаем читателя к оригинальной работе.
Упражнения
1. Пусть Oq — конечное множество и t ф О — квадратная матрица с элементами Uj, і, j Є По, принимающими целые неотрицательные значения. Введем множество Щ = {(г, j, т) Є Clo х Clo х Z> : то ^ tij} и положим 1Ь,з,т){к,1,п) = если 3 = к> и *Ъ,з,т)(к,1,п) = 0 в противном случае. Тогда (fig, t*) является Z-решетчатой системой, для которой мы будем также употреблять обозначение (?! t)* (мы предполагаем, что Qg ф 0).
(a) Предположим, что принимает только значения О и 1, так что (Г2сь t) является Z-решетчатой системой. Если ?* Є Cl* и ?* = (г, j, 1), положим (F?*)x = і. Показать, что отображение F: (fig, ?*) н-> (?) t) является Z-изоморфизмом.
(b) Показать, что Z-решетчатая система, полученная ограничением Z
на NZ и применением группового изоморфизма Z NZ, Z-изоморфна
системе (?! tN)* (см. Вильямс [1]).
2. Пусть (Clo, t) — перемешивающая Z-решетчатая система и <т Є L Для г)о V ))> Є Cl^ обозначим через pa(vo V г?>) условную вероятность ТОГО, ЧТО ?1(0} = JJ0, при условии, что ?|Z> = Tjy. Положим да(?,) = = — Iogpa-(^o V ?>). Тогда да определено сг-почти всюду, да ^ 0 и
