Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
образования разрыва этот факт приводит к асимметрии фронтов относительно
нулевого уровня, и скорость движения фронтов становится отличной от с0.
Поскольку два соседних фронта движутся с различными скоростями (причем
скорость одного Кф, ]> с0, а второго Uф2 <[ с0), начальная асимметрия
усиливается.
Как показано на рис. VI.2, один из полупериодов полностью вырождается при
сг 26 и исходная волна трансформируется в пилообразную с основной
частотой со/2.
Напротив, при S (0) = 0, когда возмущение задается в виде V = sin 0 +
0,2sin (0/2), образуются симметричные фронты и влияние субгармоники на
поведение профиля сказывается мало (рис. VI.3).
§ 2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ ВЕЗ ДИСПЕРСИИ 157
Результаты гармонического анализа графиков рис.
VI.2,3 изображены на рис. VI.4. Кривая В3 {я/2} иллюстрирует поведение
амплитуды волны накачки в случае наиболее эффективного взаимодействия.
Как видно из
Рис. VI.2. Вырожденный параметрический процесс на пространственно-
временном языке при оптимальном сдвиге фаз S (0) = л/2.
Рис. VI.3. Вырожденный параметрический процесс при S (0) = 0.
графика, амплитуда В3 {я/2} уменьшается до нуля, а затем становится
отрицательной, т. е. волна со начинает генерироваться в противофазе - уже
как вторая гармоника усиленного сигнала со/2. Амплитуда же волны
158 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
сигнала Вх {л/2} вначале несколько нарастает, но затем ее рост тормозится
истощением энергии накачки. В результате Вх {л/2} уменьшается из-за
действия затухания. Однако это уменьшение достаточно медленное, что
позволяет Bi {л/2} превысить В3 {л/2}. Эффект усиления сказывается вплоть
до очень больших а, как зто видно из
Рис. VI.4. Результаты гармонического анализа кривых рис. VI.3
и VI.4.
сравнения кривой Bi {л/2} и кривой, описывающей изменение амплитуды волны
ю/2 при отсутствии нелинейного взаимодействия (штриховая линия на рис.
VI.4).
В случае S (0) = 0 перекачка энергии идет в обратном направлении - из
субгармоники в волну ю, поэтому амплитуда субгармопики быстро уменьшается
(кривая 5Х{0} на рис. VI.4). Однако вследствие малости начальной
амплитуды субгармоники ее энергия дает малый вклад в энергию накачки, и
на кривой i?3{0} это нелинейное взаимодействие практически не
сказывается.
§ 2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ Б?3 ДИСПЕРСИИ 159
Как показывает рис. VI.4, при сравнимых по величине амплитудах входного
сигнала и накачки коэффициент усиления невелик; он едва превышает единицу
даже в наиболее благоприятном случае. Однако ситуация может существенно
измениться, если амплитуда сигнала г;с0 во много раз меньше амплитуды va
волны накачки. Это предположение позволяет получить ряд аналитических
результатов и оценить величину коэффициента усиления [88].
Итак, будем считать, что в рассматриваемой области значений о выполнено
неравенство FH (сг, 0) Vс (<т, 0) и наличие субгармоники Fc никак не
сказывается на поведении волны FH. Поэтому волна накачки теряет свою
энергию только на генерацию собственных гармоник, но не на усиление
сигнала. Справедливость этого предположения мы обсудим позднее. Учитывая,
что функции FH и F = FH + Fc каждая по отдельности должны удовлетворять
уравнению (VI.2.1), нетрудно получить уравнение для Fc:
д dWn
-ar = w<W + r_iL. (VI.2.5)
В силу малости величины Fc в уравнении (VI.2.5) отброшен нелинейный член
FcdFc/d0, ответственный за нелинейные искажения субгармоники. В качестве
FH здесь можно использовать известные решения уравнения Бюргерса: решение
Бесселя - Фубини (1.5.9) (в области до образования разрыва, на первом
этапе) и решение Фея (И.2.11) (в области после образования разрыва).
Представим эти выражения в виде
ОО
FH = 2 MH(s)]"(ein0 - е-"9). (VI.2.6)
П=1
Здесь
2J" (his) " " . .
nV - при 0<б<1,
Ин(а)]"= (tm) ^ (VI.2.7)
. 2Г sh хпГ (1 -f- о) при а 1.
Если искать решение уравнения (VI.2.5) в виде Fc = = ~2Г ехР ("Г") - ехР (
S"')] ' ,а'ЛЯ комплексной
160 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
амплитуды сигнала можно получить следующее уравнение:
= (VL2-8>
Через Аа обозначена амплитуда первой гармоники волны накачки, выражение
для которой дает формула (VI.2.7) при п = 1. Подставляя в уравнение
(VI.2.8) А = В ехр (iS), т. е. переходя к действительной амплитуде# и
фазе 5, придем к двум уравнениям
г] В ВА" г>
(VI.2.9)
dS А
б/з 4
н sin 25. (VI.2.10)
Уравнение (VI.2.10) удобно интегрировать, вводя новую переменную ф = -cos
25. Его решение имеет вид
а
ф = th 4- [in tg2 5 (0) + jj Аи (o') do'] . (VI.2.11)
о
Здесь 5 (0) - начальное (при п - 0) значение сдвига фаз между волнами
субгармоники и накачки. С помощью решения (VI.2.11) уравнение (VI.2.9)
легко проинтегрировать и получить следующий результат:
1п#=--?-о +
а а'
+ -^Чп(з') l,h-i-[lnt.g25(0) -f J (о")do"]do'. (VI.2.12)
Чтобы найти окончательный вид решения, необходимо вычислить интегралы,
входящие в формулу (VI.2.12), используя при этом явное выражение (VI.2.7)
для Ан (при п - 1). Заметим, что в области 0 п 1 функция 2Ji (сг)/п ж 1,
