Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Руденко О.В. -> "Теоретические основы нелинейной акустики" -> 48

Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.

Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики — М.: Наука, 1975. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskieosnovinelineynoyakstiki1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 81 >> Следующая

радиуса пузырька. Переменные V и р, штрихи над которыми опущены, здесь и
в дальнейшем характеризуют возмущение объема и давления.
Как следуетиз уравнения (VI.3.8), нелинейный характер малых колебаний
воздушной полости обусловлен двумя причинами: нелинейностью уравнения
состояния газа в пузырьке аУ2 и динамической нелинейностью (3 [2VV + I
2]. В наиболее общем случае необходимо также учесть диссипацию энергии в
процессе колебания воздушного пузырька. Для этого дополним уравнение
(VI.3.8) членом, пропорциональным скорости изменения объема пузырька:
У + cdo'V - аУ2 - р (2УУ + У2) + /V = - гр. (VI.3.9)
Расчет показал, что нелинейность, обусловленная наличием пузырьков
воздуха, в 103-104 раз превышает нелинейность гидродинамического
характера. Поэтому уравнения (VI.3.1) и (VI.3.2) могут быть
линеаризованы. При этом плотность смеси р в нелинейном члене уравнения
(VI.3.1) и справа в уравнении (VI.3.2) может быть отождествлена с
равновесной плотностью воды р0. Здесь учет отклонения значения плотности
смеси р от значения р0 приведет лишь только к нелинейным поправкам, не
существенным при линеаризации уравнений. Однако при вычислении
производной dpIdt необходимо иметь связь плотности смеси с другими
макроскопическими характеристиками среды.
Плотность смеси при концентрации пузырьков п может быть в равновесном
случае представлена так:
~ = Рж (1 - UVо) + РвозЯУо- (VI.3.10)
Изменение объема смеси под воздействием поля ультразвуковой волны или при
пульсации пузырьков определяется выражением
^ = Уж + Увоз = и- nV,U-K(U - nV0U)p + nVU =
= (U - nV0U)(l-xp) + nVU. (VI.3.11)
172 гл. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Здесь, как и в: формуле (VI.3.10), т - полная масса смеси, U - полный
объем. Коэффициент к характеризует
1 dV ,,
сжимаемость воды и =-~v"dp • расчете на единицу объема выражение
(VI.3.11) дает
-L-?. = (i-nV0)(l-xp)+nV. (VI.3.12)
Подставляя в формулу (VI.3.12) значение mlU в соответствии с выражением
(VI.3.10), найдем при условии nVQ <зс^ 1 и рж (1 nVо) -)- рвозяПо Рж ро'
p=i-l;+nv • (vi'3'13)
Теперь из линеаризованных уравнений (VI.3.1) и (VI.3.2) с учетом
(VI.3.13) следует
дгр 1 №-р 8W " ...
Из* - at* ~Pon'дR~, ( 1.3.14)
где с0 - скорость распространения звука в жидкости.
Покажем, что среда, описываемая уравнениями (VI.3.9) и (VI.3.14),
обладает дисперсионными свойствами. Для этого опустим временно в
уравнении (VI.3.9) нелинейные члены и член, ответственный за диссипацию
энергии, т. е. ограничимся уравнением
p=-4-v~ 4-ж- (у1-3-15)
и примем возмущения давления и объема в виде гармонических функций с
частотой со, т. е. р ~ еш и F~ еш. Из формул (VI.3.14) и (VI.3.15)
следует дисперсионное соотношение
1 1 . р0пе____
с2 со2 (1 - со2/а>Й)
(VI.3.16)
Откладывая по оси абсцисс'значения со, а по оси ординат 1/с2, мы получим
дисперсионную кривую, представленную на рис. VI.7.
Таким образом, полученные уравнения и проведенный предварительный анализ
их свидетельствует о том, что
§ 3. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СИСТЕМАХ С ДИСПЕРСИЕЙ
173
жидкость с пузырьками воздуха обладает нелинейными, дисперсионными и
диссипативными свойствами.
Как известно, для осуществления параметрического усиления необходимо
добиться эффективного взаимодействия только двух волн: волны сигнала и
волны накачки. Если воздушные пузырьки, распределенные в воде, имеют
Рпс. VI.7. Дисперсионная кривая жидкости, содержащей пузырьки воздуха с
собственными частотами ю0.
собственную частоту колебаний со0, то необходимое условие эффективного
взаимодействия волны сигнала и волны накачки может быть реализовано, если
частота волны накачки сон - 2со, где (о - частота сигнала, и юн (о да ж
(о0. Тогда волна частоты Зю будет в силу дисперсионных свойств среды (см.
рис. VI.7) сильно отличаться по скорости от взаимодействующих волн.
Однако наряду с резонансными пузырьками ((о0 да да Зю) в среде будут
присутствовать пузырьки меньших размеров с более высокой частотой [96].
Вносимые этими нерезонансными пузырьками расстройки по скоростям малы,
однако наличие их в воде существенно влияет на нелинейные свойства среды.
Если учесть наличие резонансных и нерезонансных пузырьков непосредственно
1?4 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЁНИЙ В ЗВУКОВЫХ ВОЙНАХ
в уравнении (VI.3.14), то мы получим
д*р 1 dip ( diV-1 , dWi \ ЛТ-I О 4Н\
Л-Ро(п1-эг5- + "2-ж-). (VI.3.17)
дх2 Л dt2 ч>
Индекс 1 относится к нерезонансным пузырькам, 2 - к резонансным, причем
со20 ж Зсо и со10^>со20. Вместо уравнения (VI.3.9) мы получим два
уравнения, связывающих давление в среде, окружающей пузырек, с движением
воздушной полости:
ш2
"Ух-ь -Vi, (VI.3.18)
81 81
p = о(tm)-19)
Первое уравнение устанавливает нелинейную связь между возмущением
давления в среде и изменением объема нерезонансной полости. Второе
уравнение (VI.3.19) не содержит нелинейный член, поскольку проведенные
оценки нелинейных и дисперсионных свойств резонансных пузырьков показали,
что дисперсионные эффекты выражены сильнее.
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed